筆記 線代第二章 線性空間

2021-09-29 22:36:50 字數 1973 閱讀 5256

定義:

設$v$為$n$維向量的集合,如果集合$v$非空,且集合$v$對於加法及數乘兩種運算封閉,那麼就稱集合$v$為向量空間

向量$\beta$可由向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m $線性表示的充分必要條件是:

$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_mx_m=\beta$有解

性質

包含向量的任何向量組線性相關;

兩個向量相等的向量組線性相關;

單個零向量線性相關,單個非零向量線性無關;

兩個向量對應分量成比例,線性相關

基本向量組或單位座標向量組線性無關

定理

$n$維向量組$a=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$線性相關,若$n=m$則$|a|=0$

$n$維向量組$a=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$線性無關,若$n=m$則$|a|\neq0$

部分相關則整體相關

整體無關則部分無關

n維向量組線性無關,把每個向量的維數增加後,得到的新向量組仍線性無關n維向量組線性相關,把每個向量的維數增加後,得到的新向量組仍線性相關向量組 $a(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$線性無關,而向量組$b(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta)$線性相關,則向量$\beta$必能由向量組$a$線性表示且表示式唯一

$m>n$時,$m$個$n$維向量必線性相關.

階梯形向量必然線性無關

只含零向量的向量組沒有極大無關組.

乙個線性無關向量組的極大無關組就是其本身。

乙個向量組的任一向量都能由它的極大無關組線性表示

乙個向量組的極大無關組一般不是唯一的,但包含相同個數的向量

任意乙個極大線性無關組都與向量組本身等價。

定義向量組的極大無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩

性質零向量組的秩為0

如向量組$a(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$可由向量組$b(\beta_1,\cdots,\beta_t)$線性表示,則$r(a)≤r(b)$

矩陣的行秩=矩陣的列秩

注意:

兩個有相同的秩的向量組不一定等價。

兩個向量組有相同的秩,並且其中乙個可以被另乙個

線性表示,則這兩個向量組等價。

只含有零向量的向量空間沒有基,規定其維數為$0$

如果把向量空間看作向量組,可知, v的基就是向量組的極大無關組, v的維數就是向量組的秩

向量空間的基不唯一

$x_1,x_2,\cdots,x_n$與$y_1,y_2,\cdots,y_n$是$n$維線性空間$v$的兩組不同基。

則由基的定義(極大線性無關組),有

$$\begin

y_1=p_x_1+p_x_2+\cdots+p_x_n \\

y_2=p_x_1+p_x_2+\cdots+p_x_n \\

\cdots\cdots \\

y_n=p_x_1+p_x_2+\cdots+p_x_n

\end

$$記作:$(y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

其中$p=(p_)_$

稱$p$是由基$x_1,x_2,…,x_n$到基$y_1,y_2,\cdots,y_n$的過渡矩陣

座標變換公式

$$x=py \rightarrow y=p^x$$

第二章筆記

1.遞迴查詢和迭代查詢 遞迴查詢是一條環路,直接想成遞迴的定義就行,你想查乙個 的ip,首先將這個 傳給它的本地dns,然後認為本地dns可以直接將ip給你,然後本地dns為了知道這個ip又詢問下個dns伺服器。從此可以看出,增加了被涉及的伺服器的資料,所以一般用迭代查詢,迭代查詢是你詢問完後給你下...

第二章 線性表

定義 線性表簡稱表,是n n 0 個具有相同型別的資料元素的有限序列,線性表中資料元素的個數稱為線性表的長度。長度等於0時稱空表,乙個非空表通常記作 l a1,a2,an 線性表的性質 1.有限性 元素個數有限 2.相同性 元素型別相同 3.順序性 除首位元素外,相鄰元素都有前驅和後繼 2.1.2線...

第二章線性表

2 1線性表的邏輯結構 1 線性表是n 0個具有相同型別的資料元素的有限序列。空表是長度等於零的線性表。2 特性 有限性 相同性 順序型。2 2線性表的順序儲存結構及實現 1 c 中陣列的下標是從0開始的,而線性表中元素的序號是從1開始的。線性表中第i個元素儲存在陣列中下標為i 1的位置。2 順序表...