代數幾何的發展
代數幾何的起源很自然地是從
關於平面中的代數曲線的研究
開始的。對於一條平面曲線，人們首先注意到的乙個數值不變數是它的次數，即定義這條曲線的方程的次數。由於次數為一或二的曲線都是有理曲線（即在代數幾何的意義下同構於直線的曲線），人們今天一般認為，代數幾何的研究是從19
世紀上半葉關於三次或更高次的平面曲線的研究開始的（早期人們研究的代數簇都是定義在複數域上的）。例如，n.h.阿貝爾在1827～2023年關於橢圓積分的研究中，發現了橢圓函式的雙週期性，從而奠定了橢圓曲線（它們都可以表示成平面中的三次曲線）理論基礎。另一方面，c.g.j.雅可比考慮了橢圓積分反函式
問題，他的工作是今天代數幾何中許多重要概念的基礎（如曲線的雅可比簇、θ函式等）。
b.黎曼2023年引入並發展了代數函式論，從而使代數曲線的研究獲得了乙個關鍵性的突破。黎曼把他的函式定義在複數平面的某種多層復迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。用現代的語言，緊緻的黎曼曲面就一一對應於抽象的射影代數曲線。運用這個概念，黎曼定義了代數曲線的乙個最重要的數值不變數：虧格。這也是代數幾何歷史上出現的第乙個絕對不變數（即不依賴於代數簇在空間中的嵌入的不變數）。黎曼還首次考慮了虧格g
相同的所有黎曼曲面的雙有理等價類的參量簇問題，並發現這個參量簇的維數應當是3g-3，雖然黎曼未能嚴格證明它的存在性。
黎曼還應用解析方法證明了黎曼不等式：l（d）≥d(d)-g+1,這裡d是給定的黎曼曲面
上的除子。隨後他的學生g.羅赫在這個不等式中加入一項，使它變成了等式。這個等式就是著名的f.希策布魯赫和a.格羅騰迪克的黎曼-羅赫定理的原始形式（見代數函式域
）。代數幾何 - 內容在黎曼之後，德國數學家m.諾特等人用幾何方法獲得了代數曲線的許多深刻的性質。諾特還對代數曲面的性質進行了研究。他的成果給以後義大利學派的工作建立了基礎。 從
19世紀末
開始，出現了以g.卡斯特爾諾沃，f.恩裡奎斯和f.塞維里為代表的義大利學派以及以h.龐加萊、(c.-)é.
皮卡和s.萊夫謝茨為代表的法國學派。他們對複數域上的低維代數簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認為是代數幾何中最漂亮的理論之一的
代數曲面分類理論
。但是由於早期的代數幾何研究缺乏乙個嚴格的理論基礎，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補。
20世紀以來代數幾何最重要的進展之一是它在最一般情形下的理論基礎的建立。
20世紀30
年代
，o.扎里斯基和b.l.範·德·瓦爾登等首先在代數幾何研究中引進了
交換代數
的方法。
在此基礎上，a.韋伊在40
年代
利用
抽象代數
的方法建立了抽象域上的代數幾何理論，然後通過在抽象域上重建義大利學派的代數對應理論，成功地證明了當k是有限域的時候,關於代數曲線ζ函式具有類似於黎曼猜想的性質。
50
年代中
期，法國數學家j.p.塞爾把代數簇的理論建立在層的概念上，並建立了凝聚層的
上同調理論
，這個為格羅騰迪克隨後建立
概型理論
奠定了基礎。概型理論的建立使代數幾何的研究進入了乙個全新的階段。概型的概念是代數簇的推廣，它允許點的座標在任意有單位元的交換環中選取，並允許結構層中存在冪零元。
概型理論的另乙個重要意義是把代數幾何和代數數域的算術統一到了乙個共同的語言之下，這使得在代數數論的研究中可以應用代數幾何中大量的概念、方法和結果。這種應用的兩個典型的例子就是： ①
p.德利涅於2023年把韋伊關於ζ函式的定理推廣到了有限域上的任意代數簇,即
證明了著名的韋伊猜想
,正是利用了格羅騰迪克的概型理論。 ②
g.法爾廷斯在2023年
證明了莫德爾猜想
。這個結果的乙個直接推論是費馬方程x+y=1在n≥4時最多只有有限多個非零有理解，從而使費馬猜想的研究獲得了乙個重大突破。
在另一方面，20世紀以來複數域上代數幾何中的超越方法也得到了重大的進展,例如g.-w.德·拉姆的
解析上同調理論
，w.v.d.霍奇的
調和積分論
的應用，以及小平邦彥和d.c.斯潘塞的變形理論以及p.格里菲思的一些重要工作等。
周煒良對20世紀前期的代數幾何發展作出了許多重要的貢獻。他建立的周環,周簇,周座標等概念對代數幾何的許多領域的發展起了重要的作用。他還
證明了著名的周定理：若乙個緊緻復解析流形是射影的，則它必定是代數簇。
20世紀後期，在古典的複數域上低維代數簇的分類理論方面也取得了許多重大進展。在代數曲線的分類方面，由於d.b.芒福德等人的工作，人們現在對代數曲線參量簇 mg已經有了極其深刻的了解。芒福德在60年代把格羅騰迪克的概型理論用到古典的不變數理論上，從而創立了幾何不變數理論,並用它證明了mg的存在性以及它的擬射影性。人們已經知道 mg是乙個不可約代數簇，而且當g≥24時是一般型的。目前對mg的子代數簇的性質也開始有所了解。
代數曲面的分類理論也有很大的進展。例如,60年代中期小平邦彥徹底弄清了橢圓曲面的分類和性質；2023年,丘成桐
和宮岡洋一同時證明了一般型代數曲面的乙個重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的陳數。同時，三維或更高維代數簇的分類問題也開始引起人們越來越大的興趣。
代數幾何與數學的許多分支學科有著廣泛的聯絡。除了上面提到的數論
之外，還有如解析幾何
、微分幾何、交換代數、 代數群、k理論、拓撲學
等。代數幾何的發展和這些學科的發展起著相互促進的作用。同時，作為一門理論學科，代數幾何的應用前景也開始受到人們的注意，其中的乙個顯著的例子是代數幾何在控制論中的應用。
近年來，人們在現代粒子物理的最新的超弦理論中，已廣泛應用代數幾何工具，這預示古老的代數幾何學將對現代物理學的發展發揮重要的作用。
代數幾何和算術幾何
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