跡和特徵值有很重要的聯絡：
tr(a)=λ1+λ2+⋯+λntr(a)=λ1+λ2+⋯+λn
特徵值還和a的行列式有關係：
|a|=λ1λ2⋯λn
a可逆時，1/λ1/λ為a−1a−1的特徵值
矩陣a與其轉置矩陣atat有相同的特徵值
kλkλ是矩陣ka的特徵值(k是任意常數)
tr(a+b)=tr(a)+tr(b)tr(a+b)=tr(a)+tr(b)
tr(ka)=k⋅tr(a)
tr(at)=tr(a)tr(at)=tr(a)
tr(ab)=tr(ba)tr(ab)=tr(ba)
tr(abc)=tr(bca)=tr(cab)
設a、b為n階方陣，p為n階可逆矩陣，且p−1ap=bp−1ap=b，則有tr(a)=tr(b)
矩陣a為n階方陣，若存在n階矩陣b，使得矩陣a、b的乘積為單位陣，則稱a為可逆陣，b為a的逆矩陣。 若方陣的逆陣存在，則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，且其逆矩陣唯一。
設n階方陣a存在n個線性無關的特徵向量→xix→i，將這n個特徵向量→xix→i組成方陣s(也稱為特徵向量矩陣），則有：
as=a[→x1→x2⋯→xn]
=[λ1→x1λ2→x2⋯λn→xn]as=a[x→1x→2⋯x→n]
=[λ1x→1λ2x→2⋯λnx→n]
=[→x1→x2⋯→xn]⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋯⋮00⋯λn⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=[x→1x→2⋯x→n][λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋯⋮00⋯λn]
=sλ=sλ
所以有：
a=sλs−1a=sλs−1
這個式子稱為a的sλs−1sλs−1分解，或特徵分解(eigendecomposition)，或a的對角化。
根據這個式子可以知道：當方陣a可以被分解為某個矩陣ss乘以某個對角矩陣λλ再乘以矩陣s−1s−1時，就是一次特徵分解。
可以對角化的前提是a有n個線性無關的特徵向量。a有n個線性無關的特徵向量的前提是，所有的λλ都不重複（沒有重根）。
對稱矩陣特性：
a=at
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