就像高中用二階導數來判斷一維二次函式的凹凸走向一樣，hessian矩陣不過是用來判斷多維函式在某一指定點的凹凸性而已，看完這個部落格想必你會立馬恍然大悟，文章篇幅不大，還請耐心看完全程。這個想必大家都懂得，以二維矩陣為例：
矩陣最大的應用之一就是在幾何變換上，比如旋轉，平移，反射，以及倍數變大或變小。
舉例：x=[
3−1]
x=\left [\begin3&-1 \end\right]
x=[3−
1][20
02]∗
x\left[\begin 2&0\\0&2\end \right]*x
[2002
]∗x
[ 6−
2]\left[\begin6&-2\end \right]
[6−2
]可以看出，相等於把矩陣x每個元素都擴大了2倍。
再比如，給定乙個普通矩陣
[ 23
54]\left[\begin 2&3\\5&4\end \right]
[2534
]這個矩陣看上去很普通，但是如果乘以
[ 35
]\left[\begin 3\\5\end \right]
[35
]可以得到
[
2135
]\left[\begin 21\\35\end \right]
[2135
]就好比乘以了乙個標量7。此時我們便得到了乙個特徵向量以及特徵值。對於分析hessian矩陣，特徵向量不是很重要，但是特徵值很重要
簡單粗暴，沒什麼解釋的，就這麼求的方法為：
∣ [a
bcd]
−[x0
0x]∣
=0\left|\left[\begina&b\\c&d\end\right]-\left[\beginx&0\\0&x\end\right]\right|=0
∣∣∣∣[
acb
d]−
[x0
0x]
∣∣∣∣
=0∣a−
xbcd
−x∣=
0\left|\begina-x&b\\c&d-x\end\right|=0
∣∣∣∣a
−xc
bd−x
∣∣∣
∣=0
我們已經複習過了求行列式的方法，所以上述行列式不難求。
舉例，求[23
54]\left[\begin2&3\\5&4\end\right]
[2534
]的特徵值，你會得到[2−
x354
−x]\left[\begin2-x&3\\5&4-x\end\right]
[2−x5
34−x
]計算行列式(determinant)可得
( 2−
x)(4
−x)−
15=08
−6x+
x2−15
=0x2
−6x−
7=0(
x−7)
(x+1
)=0x
=7/−
1(2-x)(4-x)-15=0\\8-6x+x^2-15=0\\x^2-6x-7=0\\(x-7)(x+1)=0\\x=7/-1
(2−x)(
4−x)
−15=
08−6
x+x2
−15=
0x2−
6x−7
=0(x
−7)(
x+1)
=0x=
7/−1
7或者-1就是我們要求的特徵值。
hessian矩陣我們已經知道是二階導數矩陣，有時候二階導數仍然帶有未知數，所以求給定點的hessian矩陣才有意義，給定座標後，hessain矩陣變成常數矩陣，然後就可以求其特徵值
如果hessian矩陣所有特徵值均為正：開口向上凹的點
如果均為負：開口向下凹的點
如果有一項為0：不確定情況。
hessain矩陣的幾何意義就是判斷點的凹凸性，基於hessian矩陣的牛頓法，只適用於所有特徵值均為正的情況。
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