1.特徵值和特徵向量的幾何意義是什麼？
特徵向量的幾何意義：
特徵向量確實有很明確的幾何意義，矩陣(既然討論特徵向量的問題，當然是方陣，這裡不討論廣義特徵向量的概念，就是一般的特徵向量)乘以乙個向量的結果仍是同維數的乙個向量，因此，矩陣乘法對應了乙個變換，把乙個向量變成同維數的另乙個向量，那麼變換的效果是什麼呢？這當然與方陣的構造有密切關係，比如可以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度，這時我們可以問乙個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想 一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特徵向量(注意：特徵向量不能是零向量)，所以乙個變換的特徵向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已(再想想特徵向量的原始定義ax= cx,你就恍然大悟了,看到了嗎？cx是方陣a對向量x進行變換後的結果，但顯然cx和x的方向相同)，而且x是特徵向量的話，ax也是特徵向量(a是標量且不為零)，所以所謂的特徵向量不是乙個向量而是乙個向量族，另外，特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已，對乙個變換而言，特徵向量指明的方向才是很重要的，特徵值不是那麼重要，雖然我們求這兩個量時先求出特徵值，但特徵向量才是更本質的東西！
比如平面上的乙個變換，把乙個向量關於橫軸做映象對稱變換，即保持乙個向量的橫座標不變，但縱座標取相反數，把這個變換表示為矩陣就是[1 0;0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上標'表示取轉置，這正是我們想要的效果，那麼現在可以猜一下了，這個矩陣的特徵向量是什麼?想想什麼向量在這個變換下保持方向不變，顯然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是映象對稱變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當然不會變化)，所以可以直接猜測其特徵向量是 [a 0]'(a不為0)，還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經過變換後，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認為是方向沒有變化，所以[0 b]'(b不為0)也是其特徵向量，去求求矩陣[1 0;0 -1]的特徵向量就知道對不對了!
對於理解了特徵值和特徵向量後，才會對機器學習學習演算法裡的應用有更加深刻的認識。比如pca ,svd,影象伸縮變換等
特徵值和特徵向量的幾何意義 計算及其性質
特徵值和特徵向量確實有很明確的幾何意義，矩陣 既然討論特徵向量的問題，當然是方陣，這裡不討論廣義特徵向量的概念，就是一般的特徵向量 乘以乙個向量的結果仍是同維數的乙個向量。因此，矩陣乘法對應了乙個變換，把乙個向量變成同維數的另乙個向量。那麼變換的效果是什麼呢？這當然與方陣的構造有密切的關係，比如可以...
特徵向量的幾何意義
長時間以來一直不了解矩陣的特徵值和特徵向量到底有何意義 估計很多兄弟有同樣感受 知道它的數學公式，但卻找不出它的幾何含義，教科書裡沒有真正地把這一概念從各種角度例項化地進行講解，只是一天到晚地列公式玩理論 有個屁用啊。根據特徵向量數學公式定義，矩陣乘以乙個向量的結果仍是同維數的乙個向量，因此，矩陣乘...
特徵向量的幾何意義
摘自 線性代數的幾何意義 我們知道，矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉 伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值...