為了從直觀上理解特徵分解和奇異值分解，可以研究一下它們的幾何意義
假設有矩陣
a 和其特徵向量
x ，它們滿足ax
=λx ，其中
λ 為特徵值。
從上式就能看出x
a 下，保持方向不變的向量。
一般的，矩陣
a 作用在（相乘）乙個向量上，會使該向量發生縮放、旋轉變換。如果我們換一下座標系，以
a 的特徵向量作為基，那麼會發現
a 的作用只是在基的方向上進行了縮放，相當於新座標系下的對角矩陣產生的效果，而這個對角矩陣的元素正好就是有所有的特徵值構成。
新座標系的基是由
a 的特徵向量組成，所以它們應該是正交的。想象二維平面上的乙個圓，經過變換後，形成了乙個橢圓，橢圓的兩個軸的方向，就是這個變換的特徵向量的方向；橢圓的軸長就是特徵值的大小。
如果存在乙個特徵值對應多個特徵向量的情況，相當於這種縮放效果在多個方向上是對稱的。可以想象成乙個圓被放大或縮小後還是乙個圓，相當於變換後形成的橢圓，其兩個軸是等長的，而且任意兩個經過圓心且垂直的方向都可以作為軸的方向，所以此時的特徵分解的結果就不唯一了。
所有特徵值都為正的矩陣，稱為正定矩陣。
這裡討論了正定矩陣的幾何意義：
奇異值和特徵值的異同：
奇異值分解 SVD 線性變換幾何意義
科學網 奇異值分解 線性變換的幾何意義 ps 一直以來對svd分解似懂非懂，此文為譯文，原文以細緻的分析 大量的視覺化圖形演示了svd的幾何意義。能在有限的篇幅把這個問題講解的如此清晰，實屬不易。原文舉了乙個簡單的影象處理問題，簡單形象，真心希望路過的各路朋友能從不同的角度闡述下自己對svd實際意義...
特徵值分解和奇異值分解
1.特徵值分解 evd 對於乙個實對稱矩陣a r n na in r a rn n 可以分解成以下形式 a q q ta q sigma q t a q qt 中q是乙個正交陣，qqt i qq t i qqt i，q qq的列向量為a aa的特徵向量，gamma 是乙個對角陣，對角元素是矩陣a a...
奇異值分解
奇異值分解 singular value decomposition 是線性代數中一種重要的 矩陣分解，是矩陣分析中正規矩陣酉對角化的推廣。在訊號處理 統計學等領域有重要應用。1基本介紹 2理論描述 3幾何意義 4範數 5應用 求偽逆 平行奇異值模型 矩陣近似值 奇異值分解在某些方面與 對稱矩陣或 ...