1.給定一串長為2n的01序列，其中0和1的數量相等，滿足任意字首中0的個數不少於1的個數，求序列的個數
2.給出一串長為n的序列，按順序將他們進棧，隨意出棧，求最後進出棧的方案
3.給定乙個n個節點的二叉樹，求二叉樹有多少種（這裡定義不同指樹的形態不同）
這三個問題都有關catalan數
事實上關於catalan的性質有關問題很多，這裡只是比較針對的列出了幾種。
稍微想一想及可以知道，問題1,2同構，問題3卻好像不一樣。
我們以問題1為例，推出卡特蘭數的計算式。
很簡單的容斥原理，我們先求出所有的序列，然後減去不合法的序列即是答案
所有序列個數直接根據組合數的定義為\(c_^n\)
關於不合法的序列，我們先介紹結論，然後進行證明
滿足存在乙個字首使得1的個數大於0的個數的 n個0與n個1構成的01序列與n+1個0與n-1個1構成的01序列構成乙個雙射，即11對應關係
很顯然，後者的數量為\(c_^\)
證明：對前者，很顯然可以找到乙個位置為\(2p+1\)的字首，使得其中有\(p+1\)個\(1\)和\(p\)個\(0\)，好的我們把它取反，即得到了後者
對後者，同樣我們可以找到乙個位置為\(2p+1\)的字首，使得其中有\(p\)個\(1\)和\(p+1\)個\(0\)（\(0\)比\(1\)多我們一定可以找到），然後取反，得到前者
綜上所述，我們得到了卡特蘭數的計算公式1
\[cat_n=c_^n-c_^\]
化簡搞一搞
\[cat_n=\frac^n}\]
可以繼續推出遞推式
\[cat_n=\fraccat_\]
對遞推式\(cat_0=1\)
事實上，計算時求有組合數的那個用的比較多。
很抱歉有一步的證明不能給出，一是網上沒找到，二是聽說比較難
對於問題3，我們發現它本身介紹乙個可以遞迴求解的子問題，設方案數為\(h(n)\)。
我們隨便選取一點作為根（點都是相同的），則分別討論左右子樹的大小即可
顯然有\[h(n)=\sum_^n h(i) \times h(n-1-i)\]
\[h(0)=h(1)=1\]
經過證明，\(h(n)=cat_n\)
於是對於遞推式是這樣的題目，我們也可以使用卡特蘭數解決。
可能會更新一些題目...
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