注：本部落格是基於奧本海姆《訊號與系統》第二版編寫，主要是為了自己學習的複習與加深。
一、離散時間線性時不變系統：卷積和
一）、用脈衝表示離散時間訊號
1、如何把任何離散時間時間訊號看成由離散時間單位脈衝構成的關鍵是：要把乙個離散時間訊號當成一串單個脈衝來想象。
2、離散時間單位脈衝序列的篩選性質。
二）、離散時間線性時不變系統的單位脈衝響應及卷積和表示
1、乙個線性系統在時刻n的響應就是在時間上每一點的輸入值所產生的各個響應在該時刻n的疊加。
2、對於線性時不變系統而言：
這個結果稱為卷積和或疊加和，並且右邊的運算稱為x[n]和h[n]的卷積，並用符號記為：
此式意味著乙個很重要的結果——既然乙個線性時不變系統對任意輸入的響應可以用系統對單位，脈衝的響應來表示，那麼線性時不變系統的單位脈衝就完全刻畫了系統的特徵。
3、求卷積和的方法：將訊號x[k]和h[n-k]都看成k的函式，將它們相乘就得到序列g[k]=x[k]h[n-k]，它可看成在每乙個時刻k，輸入x[k]對輸出在時刻k的做出的奉獻，這樣就可以得到結論——將全部g[k]序列中的眼本質相加就是在所選定的時刻n的輸出值。
二、連續時間線性時不變系統：卷積積分
一）、用衝激表示連續時間訊號
1、把任意乙個連續時間訊號看成加權和移位脈衝的疊加。
2、連續時間衝激函式的篩選性質：
二）、連續時間線性時不變系統的單位衝激響應及卷積積分表示
1、對於線性時不變系統而言：
上式稱為卷積積分或疊加積分。此表明了乙個連續時間線性時不變系統的特性可以用他的單位衝激來刻畫。兩個訊號x(t)和h(t)的卷積，以後就表示成：
可以看到，與離散時間訊號下相同，乙個連續時間線性時不變系統是完全由它的衝激響應，即對單一的基本訊號單位衝激的響應來表徵的。
2、卷積積分的求法
為了求出對某一給定t時的這個積分值，首先需要得到
三、線性時不變的性質
一）交換律性質
1、在連續時間和離散時間情況下，卷積運算的乙個基本能行之是：它滿足交換律
1）、在離散時間情況下有：
2）、在連續時間情況下有：
二）、分配律性質
1）、卷積另乙個性質是：它滿足分配律
1）、在離散時間情況下有：
2）、在連續時間下有：
三）、結合律性質
1、卷積另乙個重要而有用的性質是它滿足結合律
1）、在離散時間情況下有：
2）、在連續時間情況下有：
四）、有記憶和無記憶線性時不變系統
1、若乙個系統在任何時刻的輸出僅與同一時刻的輸入值有關，它就是無記憶的。
2、如果乙個離散時間線性時不變系統h(t)，在n≠0時h[n]=0，則該系統系統就是無記憶的。反之，h[n]對於n≠0不全為零，這個系統就是有記憶的。
3、如果乙個連續時間線性時不變系統h(t)，在t≠0時h(t)=0，則該系統系統就是無記憶的。反之，h(t)對於t≠0不全為零，就是有記憶系統。
五）、線性時不變系統的可逆性
1、僅當存在乙個逆系統，其與原系統級聯後所產生的輸出等於第乙個新系統的輸入時，這個系統才是可逆的。而且，如果乙個線性時不變系統是可逆的，那麼它就有乙個線性時不變的逆系統。
2、在連續時間情況下，乙個衝激響應為h(t)的線性時不變系統的逆系統的衝激系統h1(t)瞞住以下條件：
3、在離散時間情況下，乙個衝激響應為h[n]的線性時不變系統的逆系統的衝激系統h1[n]瞞住以下條件：
六）、線性時不變系統的因果性
1、乙個因果系統的輸出只取決於現在和過去的輸入值。
2、乙個離散時間線性時不變系統若要使因果的，其衝激響應應滿足下面條件：
3、乙個連續時間線性時不變系統若要使因果的，其衝激響應應滿足下面條件：
4、乙個線性時不變系統的因果性就等效於它的衝激響應是乙個因果訊號。
七）、線性時不變系統的穩定性
1、如果乙個系統對於每乙個有界的輸入，其輸出訊號都是有界的，就稱該系統是穩定的。
2、在離散時間情況下，如果單位脈衝響應是絕對可和的，即：
那麼y[n]就是有界的，因此系統是穩定的。
3、在連續時間情況下，如果單位脈衝響應是絕對可積的，即：
那麼y(t)就是有界的，因此系統是穩定的。
八）、線性時不變系統的單位階躍響應
1、單位階躍響應s[n]或s(t)也常用來描述乙個線性時不變系統的特性，s[n]或s(t)是當x[n]=u[n]或x(t)=u(t)時的系統輸出響應。
2、乙個離散時間線性時不變系統的單位階躍響應是其單位脈衝響應的求和函式：
乙個離散時間線性時不變系統的單位脈衝響應是其單位階躍響應的一次差分：
3、乙個連續時間線性時不變系統的單位階躍響應是其單位脈衝響應的積分函式：
乙個連續時間線性時不變系統的單位脈衝響應是其單位階躍響應的一階導數：
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