注：本部落格是基於奧本海姆《訊號與系統》第二版編寫，主要是為了自己學習的複習與加深。
一、連續時間博裡葉變換性質
乙個訊號x(t)及其博裡葉變換x(jw)由如下博裡葉變換的綜合和分析公式
和聯絡起來的。有時為了方便，將x(jw)用f表示，將x(t)用f-1表示；葉將x(t)和x(jw)這一對博裡葉變換用下列符號表示：
一）、線性性質
1、若且
則二）、時移性質若則
這個性質說明：訊號在時間上移位，並不改變它的博裡葉變換的模；也就是說，若將x(jw)用極座標表示為
那麼因此，訊號在時間上的移位只是它的變換中引入相移，即-w0t，相移與頻率w成線性關係。
三）、共軛與共軛對稱性
1、共軛性質是指，若
則2、共軛性質能證明，若x(t)為實函式，那麼x(jw)就具有共軛對稱性，即
3、若將x(jw)用笛卡爾座標表示為
那麼若x(t)為實函式，則有
和也就是說，博裡葉變換的實部是頻率的偶函式，二虛部則是頻率的奇函式。
若將x(jw)用極座標表示為
那麼，可以得出：|x(jw)|是頻率w的偶函式，
若x(t)為實偶函式，那麼x(jw)也一定為實偶函式
若x(t)是時間的實奇函式，而又x(t)=-x(-t)，那麼x(jw)就是純虛奇函式。
4、乙個實函式x(t)總是可以用乙個偶函式
根據博裡葉變換的線性性質，有
並且，根據上面的討論，
四）、微分和積分
1、微分性質
令x(t)的博裡葉變換時x(jw)，將博裡葉變換綜合公式兩邊對t進行微分可得
這時乙個特別重要的性質，因為它將時域內的微分用頻域內乘以jw所代替。
2、積分性質
五）、時間與頻率的尺度變換
1、若那麼
六）、對偶性
為了確定對偶性之的準確公式，對一下公式積分
得到
同樣，對
和可以到處他們的對偶性質為
和七）、帕斯瓦爾定理
1、若x(t)和x(jw)是一對博裡葉變換，則
上式的左邊是訊號x(t)的總能量。帕斯瓦爾定理之處，這個總能量既可以按每單位時間內的能量(|x(t)2|)在整個時間內積分急速拿出來，也可以按每單位頻率內的能量(|x(jw)2/2π|)在整個頻率範圍內積分而得到。因此|x(jw
)|2常稱為訊號x(t)的能譜密度。
二、卷積性質
上式所表達的，它將兩個訊號的卷積對映為其博裡葉變換的乘積。
三、相乘性質
1、相乘性質
2、乙個訊號被另乙個訊號去乘，可以理解為用乙個洗你號去調製另乙個訊號的振幅，因此兩個訊號相乘往往也稱為振幅調製。因此上式也稱為調製性質。
一）、具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波器
1、相乘性質的乙個重要應用是在同行系統中的振幅調製。另乙個重要應用是在中心頻率可調的頻率選擇性帶通濾波器的實現上，其中心頻率可以很簡單的用乙個調諧旋鈕來調節。
四、博裡葉變換性質和基本博裡葉變換對列表
1、博裡葉變換性質
2、基本博裡葉變換對
《訊號與系統學習筆記》 離散時間博裡葉變換（一）
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訊號與系統學習筆記 BPSK DPSK
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