《訊號與系統學習筆記》 z變換（二）

注：本部落格是基於奧本海姆《訊號與系統》第二版編寫，主要是為了自己學習的複習與加深。

一、利用z變換分析與表徵線性時不變系統

1、在離散時間線性時不變系統的分析和表示中，z年歡有重要的作用。根據卷積性質

其中，x(z)，y(z)和h(z)分別是輸入、輸出和單位衝激響應的z變換。h(z)稱為系統的系統函式或轉移函式。只要單位圓在h(z)的收斂域內，將h(z)在單位圓上求值(即z=

一）因果性

1、乙個離散時間線性時不變系統，當且僅當它的系統函式的收斂域在某個圓的外邊，且包括無限遠點是，該系統就是因果的。

2、乙個具有有理系統函式h(z)的線性時不變因果系統是因果的，當且僅當：(a)收斂域位於最外層極點外邊某個圓的外邊；並且(b)若h(z)表示成z的多項式之比，其分子的階次不能高於分母的階次。

二）、穩定性

1、乙個線性時不變系統，當且僅當他的系統函式h(z)的收斂域包括單位圓|z|=1時，該系統就是穩定的。

2、乙個具有有理系統函式的因果線性時不變系統，當且僅當h(z)的全部極點都位於單位圓內時，即全部極點的模均小於1時，該系統就是穩定的。

三）、由線性常係數差分方程表徵的線性時不變系統

1、對於一般的n階差分方程，對方程兩邊進行z變換，並且利用線性和時移性質。考慮乙個線性時不變系統，其輸入、輸出滿足如下線性常係數差分方程

在式(10.1051)兩邊取z變換，並利用線性和時移性質可得

或者

這樣就有

特別要注意，乙個滿足線性常係數差分方程的系統，其系統函式總是有理的。另外，差分方程本身沒有提供關於與代數表示式h(z)有關的收斂域的資訊。因此，諸如因果性、穩定性之類的附加限制，應該用來作為標定收斂域的條件。

二、系統函式的代數屬性與方框圖表示

一）、線性時不變系統互聯的系統函式

1、對於分析像級聯、併聯和反饋互聯這些離散時間方框圖的系統函式方面的導數問題，其分析跟以前連續時間一樣。

二）、由差分方程的有理系統函式描述的因果線性時不變系統的方框圖表示

1、方框圖的表示有直接型、級聯型和併聯型方框圖。

2、乙個系統的每一種方框圖表示，對於系統實現來說都能直接轉換為乙個計算機演算法，然而由於計算機的有限字長，要對剛方框圖中的這些係數進行量化，又由於在演算法過程中會有數值上的捨入，因此每一種方框圖表示所引進的演算法僅僅是對原系統特性的一種近似。然而，這種近似中的誤差或多或少是不同的。

三、單邊z變換

1、單邊z變換在分析由線性常係數差分方程描述的具有出事條件(即系統不是出事鬆弛的)的因果系統時特別用擁有。

2、乙個序列x[n]的單邊z變換定義為

對於乙個訊號和它的z變換採用一種方便的簡化符號為

單邊z變換與雙邊z變換的差別在於，求和僅在n的非負值上進行，而不考慮n>0時x[n]是否為零。因此，單邊z變換就能看成x[n]u[n](即x[n]乘以單位階躍)的雙邊變換。特別的是，若任何序列在n<0時本身就為零，那麼該序列的單邊和雙邊z變換都是一致的。

2、單邊z變換和雙肩z變換差不多，但是要考慮到在變換求和中的極限是對.≥進行的。同理，單邊z逆變換的計算也基本上與雙邊變換相同，但是要考到對單邊變換而言，其收斂域總是位於耨個圓的外邊。

一）、單邊z變換和單邊z逆變換舉例

1、通過z變換的冪級數展開式的係數來求逆變換的方法，也能夠應用於單邊變換的情況。不過，在單邊情況下必須滿足的一種限制是，根據式(10.105)變換的莫結束展開式不能包括z的正冪次項。

注意：x(z)的冪級數展開式中沒有z的正冪次項的要求，意味著不是每乙個z函式都能是乙個單邊z變換。特別的是，若考慮將z的乙個有理函式寫成以z的多項式之比，即

那麼，這個z的有理函式若能成為乙個單邊變換(適當地選擇收斂為某乙個圓的外邊)，其分子的階次必須不能高於分母的階次。

二）、單邊z變換性質

三）、利用單邊z變換求解差分方程

1、可以利用單邊z變換和時延性質來解具有非零出事條件的線性常係數差分方程。