全概率公式貝葉斯公式推導過程

（1）條件概率公式

設a,b是兩個事件，且p(b)>0,則在事件b發生的條件下，事件a發生的條件概率（conditional probability)為：

p(a|b)=p(ab)/p(b)

（2）乘法公式

1.由條件概率公式得：

p(ab)=p(a|b)p(b)=p(b|a)p(a)

上式即為乘法公式；

2.乘法公式的推廣：對於任何正整數n≥2，當p(a1a2...an-1) > 0 時，有：

p(a1a2...an-1an)=p(a1)p(a2|a1)p(a3|a1a2)...p(an|a1a2...an-1)

（3）全概率公式

1. 如果事件組b1，b2，.... 滿足

1.b1，b2....兩兩互斥，即 bi ∩ bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，....，且p(bi)>0,i=1,2,....;

2.b1∪b2∪....=ω ，則稱事件組 b1,b2,...是樣本空間ω的乙個劃分

設 b1,b2,...是樣本空間ω的乙個劃分，a為任一事件，則：

上式即為全概率公式（formula of total probability)

2.全概率公式的意義在於，當直接計算p(a)較為困難,而p(bi),p(a|bi) (i=1,2,...)的計算較為簡單時，可以利用全概率公式計算p(a)。思想就是，將事件a分解成幾個小事件，通過求小事件的概率，然後相加從而求得事件a的概率，而將事件a進行分割的時候，不是直接對a進行分割，而是先找到樣本空間ω的乙個個劃分b1,b2,...bn,這樣事件a就被事件ab1,ab2,...abn分解成了n部分，即a=ab1+ab2+...+abn, 每一bi發生都可能導致a發生相應的概率是p(a|bi)，由加法公式得

p(a)=p(ab1)+p(ab2)+....+p(abn)

=p(a|b1)p(b1)+p(a|b2)p(b2)+...+p(a|bn)p(pbn)

3.例項：某車間用甲、乙、丙三颱工具機進行生產，各台工具機次品率分別為5%，4%，2%，它們各自的產品分別佔總量的25%，35%，40%，將它們的產品混在一起，求任取乙個產品是次品的概率。

解：設..... p(a)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345

（4）貝葉斯公式

1.與全概率公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因（即大事件a已經發生的條件下，分割中的小事件bi的概率），設b1,b2,...是樣本空間ω的乙個劃分，則對任一事件a（p(a)>0),有

上式即為貝葉斯公式（bayes formula)，bi 常被視為導致試驗結果a發生的」原因「，p(bi)(i=1,2,...)表示各種原因發生的可能性大小，故稱先驗概率；p(bi|a)(i=1,2...)則反映當試驗產生了結果a之後，再對各種原因概率的新認識，故稱後驗概率。

2.例項：發報臺分別以概率0.6和0.4發出訊號「∪」和「—」。由於通訊系統受到干擾，當發出訊號「∪」時，收報臺分別以概率0.8和0.2受到訊號「∪」和「—」；又當發出訊號「—」時，收報臺分別以概率0.9和0.1收到訊號「—」和「∪」。求當收報臺收到訊號「∪」時，發報臺確係發出「∪」的概率。

解：設....， p(b1|a）= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923

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