素數的求解方法

就判斷素數而言，事實上是非常簡單的了。根據定義，判斷乙個整數n是否是素數，只需要去判斷在整數區間[2, n-1]之內，是否具有某個數m，使得n % m == 0。**可以這麼寫：

int isprime(int n)   
return
1;  
}

事實上，這個演算法是o(n)的，感覺是很快了，但是依舊無法滿足需求。所以有乙個演算法是o(sqrt(n))的演算法。**可以這麼寫：

int isprime(long
long n)   
return
1;  
}

原理很巧妙，也僅僅是把**的i < n變成了i * i <= n而已，但是優化卻是極其高的。可能你會注意到，在上乙份**裡面，我定義的n為int型別，而後面乙份**，我卻定義成了long long，這是因為在1s內，上乙份**能判斷出來的數量級為1e8，而後面乙份**判斷出來的數量級卻幾乎可以達到1e16。而原因僅僅是因為a * b = c的話一旦a是c的約數，那麼b也是，如果a不是，那麼b也不是。

這個方法也可以稱作試除法。

儘管上面的o(sqrt(n))的演算法已經非常優秀了，但是面對更高數量級的「大數」卻會顯得力不從心。而這個時候，miller_rabin的優越性就顯示出來了。

miller_rabin的理論基礎**於費馬小定理。值得一提的是費馬小定理是數論四大定理之一。

費馬小定理：n是乙個奇素數，a是任何整數(1≤ a≤n-1) ，則 a^(n-1)≡1(mod n)

要測試n是否是乙個素數，首先將n-1分解為(2^s) * d，在每次測試開始時，先隨機選擇乙個介於[1, n - 1]的整數a，之後如果對於所有的r∈[0, s - 1]，若a^d mod n ≠ 1且a^((2^r) * d) mod n ≠ -1，那麼n就是乙個合數，否則n有3/4的機率是素數。

這也是為什麼說這個演算法只是素性測試了，他不能完全保證結果正確，但是當測試次數大約為20的時候，基本可以確保正確率達到97%以上。

它的**可以這麼寫：

const int s = 20;  
ll mod_mul(ll a, ll b, ll n)   
return res;  
}  ll mod_exp(ll a, ll b, ll n)   
return res;  
}  bool miller_rabin(ll n)   
srand((ll)time(null));  
for (int i = 0; i < s; ++i)   
if (x != 1) return
false;  
}  return
true;  
}

上面介紹的一些素數判斷的演算法，在某些問題是基本可以適用的了。但是對於另外一類問題卻十分尷尬。比如問你整數區間[1, n]內的素數個數是多少。這個時候如果乙個個列舉，乙個個判斷，對於樸素方法來說，最優也是o(nsqrt(n))，即使是miller_rabin演算法也無法在o(n)的時間內得到結果。於是就有了埃氏篩選法（埃拉託斯特尼篩法）。

對於篩選整數n以內的素數，演算法是這麼描述的：先把素數2的倍數全部刪除，剩下的數第乙個為3，再把素數3的倍數全部刪除，剩下的第乙個數為5，再把素數5的倍數全部刪除······直到把n以內最後乙個素數的倍數刪除完畢，得到n以內的所有素數。

**可以這麼寫：

const
int maxn = 1e7 + 5;  
int pri[maxn];  
void getprime(int n)   
}  }

而事實上，觀察可以發現，上面的這種寫法有很多次重複計算，這樣顯然無法做到線性篩選，而另外一種寫法卻可以得到線性篩選，達到時間複雜度為o(n)，**可以這麼寫：

const
int maxn = 1e7 + 5;  
void getprime()  
}  }

來自kuangbin的模板。

從上面的**可以發現，顯然這種篩法只能應付達到1e7這種數量級的運算，即使是線性的篩選法，也無法滿足，因為在acm競賽中，1e8的記憶體是極有可能獲得memery limit exceed的。

於是可以考慮容斥原理。

以ahuoj 557為例，1e8的情況是篩選法完全無法滿足的，但是還是考慮a * b = c的情況，1e8只需要考慮10000以內的素數p[10000]，然後每次先減去n / p[i]，再加上n / (p[i] * p[j])再減去n / (p[i] * p[j] * p[k])以此類推…於是就可以得到正確結果了。

**如下：

#include 
#include 
using
namespace
std;  
const
int maxn = 10005;  
int sqrn, n, ans = 0;  
bool vis[maxn];  
int pri[1500] = ;  
void init()  
}  }  void dfs(int num, int res, int index)  
dfs(num + 1, res * pri[i], i+1);  
if(num % 2 == 1)else  
if(num == 1) ans++;  
}  }  int main()  
return
0;  
}

最後介紹的這個演算法可以說是黑科技級別的，它能夠在3s內求出1e11之內的素數個數。據說還有在300ms內求出1e11的個數的。可以參考wiki裡面原理。然後給出來自codeforces 665f題目裡面的**。

#define maxn 100    // pre-calc max n for phi(m, n)  
#define maxm 10010 // pre-calc max m for phi(m, n)  
#define maxp 40000 // max primes counter  
#define max 400010    // max prime  
#define setbit(ar, i) (((ar[(i) >> 6]) |= (1 << (((i) >> 1) & 31))))   
#define chkbit(ar, i) (((ar[(i) >> 6]) & (1 << (((i) >> 1) & 31))))  
#define isprime(x) (( (x) && ((x)&1) && (!chkbit(ar, (x)))) || ((x) == 2))  
namespace pcf ;  
int len = 0, primes[maxp], counter[max];  
void sieve()   
}  for (int i = 1; i < max; i++)   
}  void init()   
}  }  
long
long phi(long
long m, int n)   
long
long lehmer(long
long m)   
}

素數的求解方法

素數的若干求解方法

素數求解的的幾種簡單方法

關於素數的求解

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