排序演算法之堆排序

堆排序

前言

堆排序、快速排序、歸併排序的平均時間複雜度都為，由於堆排序對原始記錄的排序狀態並不敏感，因此無論是最好、最壞和平均時間複雜度均為。這在效能上顯然要遠遠好於氣泡排序、簡單選擇排序、直接插入排序的的時間複雜度了。

空間複雜度上，它只有乙個用來交換的暫存單元，也非常不錯。不過由於記錄的比較與交換是跳躍式進行，因此堆排序是一種不穩定的排序演算法

此外，由於初始構建堆所需的比較次數較多，因此，它並不適合待排序序列個數較少的情況。

二叉堆

二叉堆是具有下列性質的完全二叉樹

（1）二叉堆的父節點的值總是大於或等於（小於或等於）其左右孩子的值；

（2）每個節點的左右子樹都是這樣的一棵二叉堆。

每個節點的值都大於或等於其左右孩子節點的值，稱為大頂堆；或者每個節點的值都小於或等於其左右孩子節點的值，稱為小頂堆。

堆排序演算法

堆排序（heap sort）就是利用堆（假設利用大頂堆）進行排序的方法。它的基本思想是：將待排序的序列構造成乙個大頂堆。此時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將它移走（其實就是講其與堆陣列的末尾元素交換，此時末尾元素就是最大值），然後將剩餘的n-1個序列重新構造成乙個堆，這樣就會得到n個元素中的次大值。如此反覆執行，便能得到乙個有序序列了。

由於輸入的是乙個無序數列，因此要實現堆排序，需要解決以下兩個問題：

（1）如何將乙個無序序列建成乙個堆（二叉堆構建）

（2）在去掉堆頂元素後，如何將剩下的元素調整為乙個二叉堆（二叉堆調整）

針對第乙個問題，可能很明顯會想到利用堆的插入操作，乙個乙個的插入元素，每次插入後調整元素的位置，使得新的序列依然為二叉堆。這種操作一般是自底向上的調整操作，即先將待插入元素放在二叉堆後面，而後逐漸向上將其與父節點比較，進而調整位置。但根據二叉堆的特點，完全用不著這麼做，我們只需先解決第二個問題，自然第乙個問題也就迎刃而解了。

二叉堆調整

假設我們排序的目標是從小到大，因此我們使用大頂堆；我們將二叉堆中的元素以程式遍歷後的順序儲存在一維陣列中，根節點在陣列中的位置序號為0。

這樣，如果某個節點的位置序號為i，那麼它的左右孩子的位置序號分別為2i+1和2i+2。

為了使調整過程更容易理解，我們採用如下的二叉堆來分析：

這裡陣列a中的元素個數為8，很明顯最大值為a0，為了實現排序後的元素按照從小到大的順序排列，我們可以將二叉堆中的最後乙個元素a7與a0交換，這樣a7中儲存的就是陣列中的最大值，而此時二叉堆變成如下情況：

為了將其調整為二叉堆，我們需要尋找4應該插入的位置。為此，我們讓4與它的孩子節點中的最大的那個，也就是其左孩子7，進行比較，由於4<7，將4與7交換，這樣二叉樹變成如下的形式：

接下來，繼續讓4與其左右孩子節點中的最大者，即6，進行比較，同樣由於4<6，交換4與6，這樣二叉樹變成如下形式：

這樣便又構成二叉堆，這時a0為7，是所有元素中的最大值。同樣，我們將二叉堆中的最後乙個元素a6與a0交換，這樣a6中儲存的就是陣列中第二大元素6，而a0就變成了3，如下圖所示：

為了將其調整成為二叉堆，將3與其左右孩子中的最大者即6進行比較，由於3<6，因此將3與6交換，繼續比較交換後的二叉樹中3和其左右孩子中的最大者4，得到以下二叉堆：

同樣將a0與此時堆中的最後乙個元素a5交換，同樣a5儲存的就是陣列中第三大元素，再次調整剩餘的節點，如此反覆，直到堆中僅剩最後乙個元素，這時整個陣列便已按照從小到大的順序排列好了。

**：

/*******************
*    heap sort
* * date: 2017/0624
* * ****************/
#include 
using namespace std;
/* *
* arr[start+1...end]滿足最大堆定義，
* 將arr[start]加入到最大堆arr[start+1...end]中，
* 調整arr[start]的位置，使arr[start...end]也成為最大堆。
* 注：由於陣列從0開始計算序號，也就是二叉堆的根節點序號為0，
* 因此序號為i的節點的左右孩子節點序號分別為2i+1, 2i+2
**/void heapadjustdown(int* arr, int start, int end)
arr[start] = temp;
}//堆排序後的順序為從小到大，因此建立大頂堆
void heapsort(int* arr, int len)
}int main();
cout << "original array: ";
for(int i=0; i<10; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
heapsort(a, 10);
cout << "heapsorted array: ";
for(int i=0; i<10; i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
return 0;
}

執行結果：

總結

複雜度：我們在重新調整堆時，都要將父節點與孩子節點進行比較，這樣，每次重新調整堆的時間複雜度變為，而堆排序有n-1次重新調整堆的操作，建堆時有（（len-1）/2+1）次重新調整堆的操作，因此堆排序的平均時間複雜度為。由於我們這裡沒有借助輔助儲存空間，因此空間複雜度為。

堆排序在排序元素較少時有點大材小用，待排序元素較多時，堆排序還是很有效的。另外，堆排序在最壞情況下，時間複雜度也為。相對於快速排序（平均複雜度），最壞情況下，這是堆排序最大的優點。

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