排序演算法之堆排序

同樣的先上這張圖

下面看一種較為複雜的選擇排序 ——堆排序：

首先來看一下什麼是堆，堆用乙個一維的陣列模擬二叉樹的結構，即堆陣列的第乙個元素為第

二、第三個元素的父結點，即第i(i從0開始)個元素是第2i+1和第2i+2個元素的父結點，由此我們可以得到每乙個結點的父結點，設為j。由 n=2j+1（n為奇數）和 n=2j+2（n為偶數）得 j=(n-1)/2（是奇數）；j=(n-2)/2 （n是偶數）。

知道了堆的定義之後我們用堆來實現排序，首先我們構建乙個小頂堆（父結點比子結點小），然後每次彈出根結點，重新調整堆，直到堆為空。

因此，實現堆排序需解決兩個問題：

1. 如何將n 個待排序的數建成堆；

2. 輸出堆頂元素後，怎樣調整剩餘n-1 個元素，使其成為乙個新堆。

對於第乙個問題，我們知道最後乙個結點的父結點是floor( (n-1) / 2)，以只需要對以該結點為根結點的樹進行篩選，使其成為小頂堆。之後向前依次對各結點為根的子樹進行篩選，使之成為堆，直到根結點。

如圖建堆初始過程：無序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）

對於第二個問題，

調整小頂堆的方法：

1）設有m 個元素的堆，輸出堆頂元素後，剩下m-1 個元素。將堆底元素送入堆頂（（最後乙個元素與堆頂進行交換），堆被破壞，其原因僅是根結點不滿足堆的性質。

2）將根結點與左、右子樹中較小元素的進行交換。

3）若與左子樹交換：如果左子樹堆被破壞，即左子樹的根結點不滿足堆的性質，則重複方法（2）.

4）若與右子樹交換，如果右子樹堆被破壞，即右子樹的根結點不滿足堆的性質。則重複方法（2）.

5）繼續對不滿足堆性質的子樹進行上述交換操作，直到葉子結點，堆被建成。

* 堆排序

* 先建立乙個小頂堆

* 然後彈出堆頂元素，再調整堆為小頂堆

* o(nlogn)

* o(1)

* 不穩定

*/template void sorthelp::heapsort(t l, int length)

} //彈出堆頂元素放到最後

for (int i = length - 1; i > 0; i--)}}}

設樹深度為k，

而建堆時的比較次數不超過4n 次，因此堆排序最壞情況下，時間複雜度也為：o(nlogn )。

由於不需要額外的輔助空間，其空間複雜度為o(1)，即常量複雜度。

由於堆在篩選過程中可能打亂順序，所以堆排序不是穩定的。