標籤： acm dp 揹包
n 物品，乙個揹包，每個物品價值wi
體積vi 揹包容量
c ，求最大價值
對於物品
i可選可不選
fi[j] = fi-1[j] (vi>j>=0)
fi[j] = max (c>=j>=vi)
給定 n
種物品和乙個揹包。第
i種物品的價值是 wi
，其體積為vi
，揹包的容量為
c ，同一種物品的數量無限多。可以任意選擇裝入揹包中的物品，求裝入揹包中物品的最大總價值。
fi[j] = fi-1[j] (vi>j>=0)
fi[j] = max (c>=j>=vi) //注意第二個是 fi 而不是
fi-1，與 0-1 揹包區別僅在於此，因為允許在放過的基礎上再增加一件。
給定 n 種物品和乙個揹包。第 i 種物品 的價值是 wi ，其體積為 vi，數量是 ki件，揹包的容量為 c。可以任意選擇裝入揹包中的物品，求裝入揹包中物品的最大總價值。
首先對於第 i 種物品，不能確定放多少件才是最優的，因為並沒有什麼可以證明放一件或者全放一定會更優。換句話說，最優解所需要的件數，可能是 0 到 ki 中的任何數。
不需要把一種物品拆分成 ki
份，而是只要物品拆分到能湊出 1 到 ki
之間任意數量的程度就可以了。
可以證明，按照二進位制的拆分能使件數達到最小，把 ki
拆分成1,2,4…2t,ki
-2^(t+1)+1（2^(t+2)>ki
>=2^(t+1)），就一定可以滿足最優解要求了。下一步，還是用 0-1 揹包的經典演算法。
如此，我們得到了乙個時間複雜度為 o(c*∑([log2ki]))的演算法。
多重揹包參考引用原址
網上關於「多重揹包」的資料倒是不少，但是關於怎麼實現o(n*v)演算法的資料，真得好少呀，關於「單調佇列」那部分演算法，又沒說明得很清楚，看了幾遍沒看懂原理，只好自己動腦去想怎麼實現o(n*v)演算法。
若用f[i][j]表示對容量為j的揹包，處理完前i種物品後，揹包內物品可達到的最大總價值，並記m[i] = min(n[i], j / v[i])。放入揹包的第i種物品的數目可以是：0、1、2……，可得：
f[i][j] = max (0 <= k <= m[i]) ㈠
如何在o(1)時間內求出f[i][j]呢？
先看乙個例子：取m[i] = 2, v[i] = v, w[i] = w, v > 9 * v，
並假設 f(j) = f[i - 1][j]，觀察公式右邊要求最大值的幾項：
j = 6*v: f(6*v)、f(5*v)+w、f(4*v)+2*w 這三個中的最大值
j = 5*v: f(5*v)、f(4*v)+w、f(3*v)+2*w 這三個中的最大值
j = 4*v: f(4*v)、f(3*v)+w、f(2*v)+2*w 這三個中的最大值
顯然，公式㈠右邊求最大值的幾項隨j值改變而改變，但如果將j = 6*v時，每項減去6*w，j=5*v時，每項減去5*w，j=4*v時，每項減去4*w，就得到：
j = 6*v: f(6*v)-6*w、f(5*v)-5*w、f(4*v)-4*w 這三個中的最大值
j = 5*v: f(5*v)-5*w、f(4*v)-4*w、f(3*v)-3*w 這三個中的最大值
j = 4*v: f(4*v)-4*w、f(3*v)-3*w、f(2*v)-2*w 這三個中的最大值
很明顯，要求最大值的那些項，有很多重複。
根據這個思路，可以對原來的公式進行如下調整：
假設d = v[i]，a = j / d，b = j % d，即 j = a * d + b，代入公式㈠，並用k替換a - k得：
f[i][j] = max + a * w[i] (a – m[i] <= k <= a) ㈡
對f[i - 1][y] （y= b b+d b+2d b+3d b+4d b+5d b+6d … j）
f[i][j]就是求j的前面m[i] + 1個數對應的f[i - 1] [b + k * d] - k * w[i]的最大值，加上a * w[i]，如果將f[i][j]前面所有的f[i - 1][b + k * d] – k * w放入到乙個佇列，那麼，f[i][j]就是求這個佇列最大長度為m[i] + 1時，佇列中元素的最大值，加上a * w[i]。因而原問題可以轉化為：o(1)時間內求乙個佇列的最大值。
該問題可以這樣解決：
① 用另乙個佇列b記錄指定佇列的最大值（或者記錄最大值的位址），並通過下面兩個操作保證佇列b的第乙個元素（或其所指向的元素）一定是指定佇列的當前最大值。
② 當指定佇列有元素m進入時，刪除佇列b中的比m小的（或佇列b中所指向的元素小等於m的）所有元素，並將元素m（或其位址）存入佇列b。
③ 當指定佇列有元素m離開時，佇列b中的第乙個元素若與m相等（或佇列b第乙個元素的位址與m相等），則佇列b的第乙個元素也離隊。
經過上述處理，可以保證佇列b中的第乙個元素（或其指向的元素）一定是所指定佇列所有元素的最大值。顯然佇列b的元素（或其所指向的元素）是單調遞減的，這應該就是《揹包九講》中的提到的「單調佇列」吧，初看的時候被這個概念弄得稀里糊塗，網上的資料提到「維護佇列的最大值」，剛開始還以為是維護這個單調佇列的最大值，對其採用的演算法，越看越糊塗。其實，只要明白用乙個「輔助佇列」，求另乙個佇列的最值，那麼具體的演算法，和該「輔助佇列」的性質（單調製化），都很容易推導出來。
在多重揹包問題中，所有要進入佇列的元素個數的上限值是已知的，可以直接用乙個大陣列模擬佇列。
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poj 1742
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