函式的正交是向量正交概念的推廣。
乙個函式f(x)可以視之為無窮維向量。
在n維空間中兩個向量的正交是用內積這個概念來定義的：
設x=(x1,x2,...,xn),y=(y1,y2,...,yn),
則x與y正交定義為其內積 x*y=x1*y1+x2*y2+...+xn*yn=0。
設f(x),g(x)是定義在[a,b]區間的兩個可積函式, f(x),g(x)中的自變數等同於(有限維)向量中分量的那個下標：
向量x中分量的下標取1,2,..,n這些離散值,而f(x)中的x是連續取[a,b]中所有的值的,即從a到b之間有無窮多個下標，因此f(x)是無窮維向量。
而兩向量內積是對應分量之積的有限和，也可以對應於積分的面積：
推廣到函式空間,兩函式內積是對應分量(函式值)之積的無限和。這時，每一瞬間的f(x)和g(x)都是乙個分量。
而 積分是有限和的極限,因此就用積分表示這個內積的無限和。
為了看清這一推廣，如上圖所示,將向量內積表示為x*y=x1*y1*1+x2*y2*1+...+xn*yn*1,這個和式中每一項是由x的分量,y的分量和1相乘之積(1看成相鄰鄰下標的步長，取1個單位),對應於向量內積的寫法,函式內積應寫為f(x)g(x)△x,它對應了[a,b]區間某子區間的值,該子區間長為△x,它類似於向量分量下標的步長,將所有這些值加起來,當最大子區間長為趨於零,有限和變為無限和,其值恰為f(x)g(x)在[a,b]的積分.
函式內積就是這樣推廣得來的。
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