1. 定義
斐波那契數列（fibonacci sequence），又稱**分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契（leonardoda fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」，指的是這樣乙個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞迴的方法定義：f（0）=0，f（1）=1，f（n）=f(n-1)+f(n-2)（n≥2，n∈n*）。
2. 程式設計實現及演算法分析
要求：
編寫程式在控制台輸出斐波那契數列前20項，每輸出5個數換行。
方法1（遞迴呼叫）
public class fibonaccil
public static void fibonaccil_1(int n)
}private static int getfibo(int i)
}public class fibonaccil
public static void fibonaccil_2()
} }
方法2(直接用遞推公式計算各項值，時間換空間)：
public class fibonaccil
public static void fibonaccil_2(int n)
}private static int getfibo(int i)
}
public class fibonaccil
public static void fibonaccil_3(int n)}}
方法4（空間換時間）
public static void fibonaccil_4(int n)
system.out.println("斐波那契數列的前20項如下所示：");
for (int i = 0; i < arr.length; i++)
}
執行結果：
斐波那契數列的前20項為：
0 1 1 2 3
5 8 13 21 34
55 89 144 233 377
610 987 1597 2584 4181
total time in fibonaccil_3 : 2 ms
斐波那契數列前20項為：
0 1 1 2 3
5 8 13 21 34
55 89 144 233 377
610 987 1597 2584 4181
total time in fibonaccil_1 : 1 ms
0 1 1 2 3
5 8 13 21 34
55 89 144 233 377
610 987 1597 2584 4181
total time in fibonaccil_2 : 1 ms
斐波那契數列的前20項如下所示：
0 1 1 2 3
5 8 13 21 34
55 89 144 233 377
610 987 1597 2584 4181
total time in fibonaccil_4 : 0 ms
3. 相關數學
1、排列組合
有一段樓梯有10級台階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級台階有幾種不同的走法?
這就是乙個斐波那契數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有兩種登法；登上**台階，有三種登法；登上四級台階，有五種登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。
類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？
答案是（1/√5)*=144種。
求遞推數列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項公式
由數學歸納法可以得到：a(n)=f(n+1)/f(n），將斐波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。
2、兔子繁殖問題
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」。
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第乙個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對
兩個月後，生下一對小兔對數共有兩對
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數01
2345
6789
1011
12幼仔對數10
1123
581321
3455
89成兔對數01
1235
8132134
5589
144總體對數11
2358
1321
3455
89144
233
幼仔對數=前月成兔對數
成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數
總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數
可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了乙個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在《算盤全書》中提出的，這個
級數 的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性質外，還可以證明通項公式為：an=(1/√5)*（n=1,2,3.....）
3、數列與矩陣
對於斐波那契數列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定義
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
f(1)=1
f(2)=1
對於以下矩陣乘法
可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數列的定義
設矩陣迭代n-1次可以得到：
求f(n)等於求二階矩陣
a
的n - 1次方，結果取矩陣第一行第一列的元素。
這就是斐波那契數列的矩陣乘法定義。
另矩陣乘法的乙個運算法則a^n(n為偶數) = a^(n/2)* a^(n/2)，這樣我們通過二分的思想，可以實現對數複雜度的矩陣相乘。
因此可以用遞迴的方法求得答案。
數列值的另一種求法：
f(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距離 x 最近的整數。
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