Fibonacci數列的各種解法

fibonacci數列：

描寫了動物滋生數量、植物花序改變等大措施則。作為乙個經典的數學識題，fibonacci數列常作為例子展目前途序設計、資料構造與演算法等多個相干學科中。

下面容易地分析一下常見的fibonacci數列求解演算法。

1、遞迴法。大多數教材在解說遞迴演算法時總迷戀以fibonacci數列為例，這是因為我們能夠直觀地從定義公式的第三行看出fibonacci數列的遞迴性。其c++告終如下：

unsigned long fib(int n)
else 
}

遞迴演算法與定義公式極其合乎，草帶會意，但計算過程存在許多重複的計算，工夫混雜度到達了o(2^n)，利用的記憶體空間也隨著函式呼叫棧的增長而增長。這顯明難受於實用的過程。

2、表驅動的遞迴法。這裡不提單純的表驅動法，因為對於項數未知的fibonacci數列開啟***的空間來換取工夫未免不划算且不負責。我們只是為了肅清遞迴法中許多重複的計算，能夠將曾經計算過的其中值存入乙個表，已備後續利用：

#define max_log 20
static unsigned long logs[max_log] = ;
unsigned long fib(int n)
else if (n < max_log && logs[n] != 0)  else 
}

當n小於保留的表長時，由於每個其中值只計算順次，工夫混雜度降為o(n)。但隨著n的增大，要想堅持o(n)的工夫混雜度，就定然放大保留的表長，這就構成了儲存空間的浪費。

3、迭代法。求fibonacci數列第n項時固然要用到前面兩項的值，但它們僅作為臨時計算的其中值，不作為收穫輸出，因而無保留的必需，全面能夠改換成迭代法求解：

unsigned long fib(int n)
else 
return c;
}}

迭代法的工夫混雜度為o(n)，利用的記憶體空間也不會動態遞公升。個人感受fibonacci數列更輕便作為迭代法而非遞迴法的典例展目前教材上。

下面給出兩種數學性較強的演算法。琢磨到表白的簡明性，用matlab告終：

4、遷移矩陣法。此措施等閒見於線性代數中的markov過程示例。fibonacci數列第n項與第n-1項能夠穿越遷移矩陣的n-1次迭代求出：

**如下：

function y = fib(n)
first = [1; 0];
trans = [1 1; 1 0];
last = trans ^ (n - 1) * first;
y = last(1, 1);
end

此演算法的工夫混雜度相當於計算矩陣乘方的工夫混雜度。在計算2階矩陣n次方時，萬一直接按矩陣乘法定義式展開，不加尤其優化，那工夫混雜度為o(n)。

5、通項公式法。fibonacci數列的通項公式如下（驗證略）：

利用通項公式能夠獲得fibonacci數列的任何項：

function y = fib(n)
sr5 = sqrt(5);
y = uint32((((1 + sr5) / 2) ^ n - ((1 - sr5) / 2) ^ n) / sr5);
end

該措施的工夫混雜度傳神為o(1)，但我們還該當琢磨乘方計算的工夫花費。不加尤其優化時，用乘法告終n次乘方的工夫混雜度為o(n)。琢磨到浮點數計算效率和精度問題，此措施在計算機告終時不及遷移矩陣法。

下面再給出兩種對計算機告終有尤其含義，但同時有定然侷限性的告終措施（只是告終措施，不能稱為新的演算法）。其中利用了一些c++程式設計技巧，對利用其它語言告終也有定然的參看價值：

6、模板元程式設計法。等閒我們在c++中利用模板，僅限於類模板與函式模板。事實上c++扶持模板元程式設計，理論上能夠在編譯時厲行任何計算（甚至包括抉擇、迴圈、遞迴等構造）。**如下：

#define fib(n) fibt::val
templatestruct fibt;};
template<> struct fibt<0>;};
template<> struct fibt<1>
;};

我們用乙個構造體作為模板的載體，用乙個列舉值保留計算收穫。其中第乙個模板為大約遞迴過程（利用遞迴演算法是為打聽釋的輕便，全面能夠用其它算***換，以加速編譯過程），後兩個模板為n=0、1時的模板特化。穿越#define語句將模板呼叫簡寫成相仿函式呼叫的措施。過程在編譯時計算所需的fibonacci數列項，將收穫作為常量嵌入編譯好的過程。執行時直接利用收穫，工夫混雜度懇摯地變成了o(1)。但這一措施最大的侷限即便只能對常量嵌入，過程中揭示諸如計算fib(i++)的情形則無能為力。儘管如此，這比在**中手工計算並寫入所需的值要直觀準確，比穿越單純的表驅動法「空間換時間」要得體迅捷。

7、函式物件法。此措施重要用於c++ stl程式設計的通用演算法方面，其厲行行動也有別於以上其它措施：

class fib
unsigned long operator()()
else 
}private:
int a, b, n;
};

這個函式類物件的行動能夠會意為乙個「fibonacci數列發生器」，其測驗性呼叫如下，過程將順次列印

void test(int i)
while (i--);
}

函式物件具有與函式指標相仿的行動，同時又能保留切身的一些屬性，因而常用於stl通用演算法程式設計。但針對個體的fibonacci數列項求值，靈便性不及等閒的措施。

渴望讀者能夠從上面的演算法分析中見微知著，有所會意。

起源：參看材料：

1、bruce eckel，thinking in c++ volume 2: practicalprogramming，機械工業出版社，2006

2、william j. collins，data structures and the standard templatelibrary，機械工業出版社，2003

3、knott's surrey university，the home page for fibonacci numbers andthe goldensection，其中，重要的增長來自相仿印度這麼的新興市場，在這裡每天大約有1.1億份報紙被銷售一空。

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