問題描述：卡塔蘭數，是組合數學
中乙個常出現在各種計數問題中出現的數列。輸入乙個整數n，計算h(n)。其遞迴式如下：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2，h(0) = h(1) = 1)
該遞推關係的解為：h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
思路：直接根據遞迴式，寫出相應的演算法
。參考**：
[cpp]view plain
copy
print?
//函式功能: 計算catalan的第n項
//函式引數: n為項數
//返回值: 第n個catalan數
intcatalan(
intn)
intresult = h[n];
//儲存結果
delete
h;
//注意釋放空間
return
result;
}
應用1描述：n對括號有多少種匹配方式？
思路：n對括號相當於有2n個符號，n個左括號、n個右括號，可以設問題的解為f(2n)
。第0個符號肯定為左括號，與之匹配的右括號必須為第2i+1字元。因為如果是第2i個字元，那麼第0個字元與第2i個字元間包含奇數個字元，而奇數個字元是無法構成匹配的。
通過簡單分析，f(2n)可以轉化如下的遞推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。
簡單解釋一下，f(0) * f(2n-2)表示第0個字元與第1個字元匹配（隱式的表達），同時剩餘字元（每一項都表示一種操作，這種操作把字元分成了兩部分，而這種操作本身是不作為這一項的乘數的）分成兩個部分，一部分為0個字元，另一部分為2n-2個字元，然後對這兩部分求解；f(2)*f(2n-4)表示第0個字元與第3個字元匹配，同時剩餘字元分成兩個部分，一部分為2個字元，另一部分為2n-4個字元。依次類推...
假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞迴式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
應用2描述：矩陣鏈乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
思路：可以這樣考慮，首先通過括號化，將p分成兩個部分，然後分別對兩個部分進行括號化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an)，然後再對(a1)和(a2×a3.....×an)分別括號化；又如分成(a1×a2)×(a3.....×an)，然後再對(a1×a2)和(a3.....×an)括號化。
設n個矩陣的括號化方案的種數為f(n)，
那麼問題的解為
f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)兩部分，然後分別括號化。
計算開始幾項，f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。結合遞迴式，不難發現f(n)等於h(n-1)。
應用3描述：乙個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
思路：這個與加括號的很相似，進棧操作相當於是左括號，而出棧操作相當於右括號。n個數的進棧次序和出棧次序構成了乙個含2n個數字的序列。第0個數字肯定是進棧的數，這個數相應的出棧的數一定是第2i+1個數。因為如果是2i，那麼中間包含了奇數個數，這奇數個肯定無法構成進棧出棧序列。
設問題的解為f(2n)， 那麼f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) + f(2n-2)*f(0)。f(0) * f(2n-2)表示第0個數字進棧後立即出棧，此時這個數字的進棧與出棧間包含的數字
個數為0，剩餘為2n-2個數。f(2)*f(2n-4)表示第0個數字進棧與出棧間包含了2個數字，相當於1 2 2 1，剩餘為2n-4個數字。依次類推。
假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞迴式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
應用4描述：n個節點構成的二叉樹，共有多少種情形？
思路：可以這樣考慮，根肯定會占用乙個結點，那麼剩餘的n-1個結點可以有如下的分配方式，t(0, n-1),t(1, n-2),...t(n-1, 0)，設t(i, j)表示根的左子樹含i個結點，右子樹含j個結點。（t(0, n-1)=f(0)*f(n-1)，因為是分步驟，當然要相乘）
設問題的解為f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假設f(0) = 1，那麼f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。結合遞推式，不難發現f(n)等於h(n)。
拓展：n個非葉節點的滿二叉樹的形態數（對稱後得到的二叉樹除非自己本身對稱，否則算是不同），這裡取wikipedia上的一張說明問題：
這裡要求滿二叉樹，實際上就是在上一點的每個子節點的空兒子上都加上葉子，就形成了我們的圖了，那麼我們要求的結果就是就是n個節點構成的二叉樹的情形數。
應用5描述：在圓上選擇2n個點，將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？
思路：以其中乙個點為基點，編號為0，然後按順時針方向將其他點依次編號。那麼與編號為0相連點的編號一定是奇數，
否則，這兩個編號間含有奇數個點，勢必會有個點被孤立，即在一條線段的兩側分別有乙個孤立點，從而導致兩線段相交。設選中的基點為a，與它連線的點為b，那麼a和b將所有點分成兩個部分，一部分位於a、b的左邊，另一部分位於a、b的右邊。然後分別對這兩部分求解即可。
設問題的解f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示編號0的點與編號1的點相連，此時位於它們右邊的點的個數為0，而位於它們左邊的點為2n-2。依次類推。
f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。結合遞迴式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
應用6描述：求乙個凸多邊形區域劃分成三角形區域的方法數？
1.我們從最簡單情況開始：n=3，f(3)=1;
2.當n=4，f(4)=2；
3.n邊時
我們從節點1開始考慮，要想分割成三角形區域，1不能和與它相鄰的點連線，所以1可以連線3,4,...,n-1;
假設1連線i,則分割成的兩個區域分別為i凸多邊形和n+2-i凸多邊形，即對於節點1,f(n)=f(3)f(n+2-3)+f(4)f(n+2-4)+...+f(n-1)f(3);
設f(2) = 1，那麼f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。結合遞推式，不難發現f(n) 等於h(n-2)。
應用7描述：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？
思路：可以將持5元買票視為進棧，那麼持10元買票視為5元的出棧。這個問題就轉化成了棧的出棧次序數。由應用三的分析直接得到結果，f(2n) 等於h(n)。
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卡特蘭數，高精度卡特蘭數
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