線性代數導論8 求解Ax b 可解性和解的結構

第八課時：求解ax=b：可解性和解的結構

本課時的目標是ax=b，可能有解，也可能無解，需要通過需要消元才知道，有解的話是唯一解還是很多解。

繼續用上課時的例子。

注意到，方程組中，第三行是第一行和第二行的和。如果方程組有解，b1 b2 b3需要滿足什麼條件？必須滿足b3=b1+b2。消元告訴我們，這是必須的。換句話說，左側行的線性組合得到0，那麼右側常量線性組合也比為0。

第一階段消元，增廣矩陣augmented matrix=[a b]：（哈哈，上個教授的圖）

第二階段消元，可以看到最後乙個方程是什麼，常量0=b3-b2-b1，驗證了打頭說的必須滿足的有解的條件：b3=b1+b2

我們需要求解的是ax=b中的x，現在b我們可以根據b3=b1+b2來選定一組值，假設b=[1 5 6]。現在只有兩個方程，4個未知數。

ax=b可解性solvability：有解時右側向量b須滿足的條件

1）有解，僅當b屬於a的列空間時成立，即，b必須是a的各列的線性組合，

2）行的線性組合如果得到零行，那麼b中元素的同樣組合必然也是零。

這兩種描述是等價的！他們同樣是描述方程組有解的條件。

求解ax=b的解

1）特解，將所有的自由量設定為0，然後解出主變數得到特解xp

2）零空間中的任意x，xn

因此ax=b的所有解為特解加上零空間中任意向量。

對於方程組某解，其與零空間內任意向量之和仍為解，因為零空間右側得到的是0。

如此，就可以得到上式方程組的所有解：

把所有這些解在四維空間中都畫出來，想象一下，xp是乙個非原點的點，xn是乙個穿過原點的平面，那麼xp+xn是兩者的組合，是乙個不經過原點的經過xp的二維平面，注意它不是子空間。

秩r與ax=b的解的關係

秩r的m×n的矩陣a始終有：r<=m, r<=n

1）列滿秩r=n，各列線性無關

每一列都有主元，0個自由變數，此時零空間n(a)只有零向量，因為沒有自由變數能夠賦值，列的線性組合無法產生0列（回顧下第六課時和第三課時，其中3中講到：

以上例子

a通過消元變成行最簡階梯式，很容易看出來a的兩列線性無關，所以r中兩個主元。同時我也一眼能看出來有兩個行是多餘的，肯定r下面會有兩個0行，因為行向量是2維的，因為前兩行是線性無關的，2維平面中有兩個向量線性無關，那該平面的所有向量都可以由這兩個向量線性組合得到，所有會出現兩個0行。

上式特解為（1,1），即a的兩列的和的線性組合

2）行滿秩r=m，各行線性無關

此時消元會得到每一行都有乙個主元，自由變數n-r（n-m）個，此時對任意的b，ax=b都有解。

3）r=m=n，滿秩方陣，行，列線性無關

零空間只包含0向量，此時對於任意的b，ax=b都有解。由r=n知道有唯一解。

總結：矩陣a為m×n的矩陣，ax=b的解的情況

r=m=n r=i 有唯一解 b是a列向量的線性組合

r=nr=m r