線性代數導論2——矩陣消元
第二課時：矩陣消元
本課時的目標是用矩陣變換描述消元法。核心概念是矩陣變換。
一、消元法
消元法：將主對角線上的主元固定（0不能做主元），把主元下面的元素消為0。過程：
先完成左側矩陣的消元（變成上三角矩陣），再回代運算右側向量，最後即可求出解完成整個消元過程
。（matlab也是先計算左側矩陣，再回頭計算右側向量的），
左側矩陣的消元過程：u矩陣是a矩陣的最終消元結果
右側向量回代過程：a中加入b列向量變成增廣矩陣，增廣就是增加的意思，增加了新列，左側矩陣消元時，右側向
量也會跟著變化。c向量是b向量的最
終結果
求解：將u和c代入原式子可得解
消元法失效的情況（指不能得到三個主元）：當主元上為0時，就通過交換行將主元位置變為非0，當通過交換行還不能解決0主元的時候，消元法就失效了。（不能解決0主元的矩陣是不可逆矩陣）
二、引入矩陣描述這些（消元步驟的）變化（消元矩陣），用矩陣語言描述整個消元過程。
回憶下我們應該怎樣看待矩陣乘法：
矩陣乘以列向量是矩陣列的線性組合，結果為列向量；行向量乘以矩陣式矩陣行的線性組合，結果為行向量。
下面用消元矩陣來對矩陣進行消元，注意變換過程我們應該始終用線性組合的方式進行思考。同時注意到：單位矩陣是乙個不會對任何矩陣有任何變換作用的矩陣。
第一步消元：我們要對中間的矩陣進行消元，得到右側矩陣，第一步為row2=row2-3*row1。依次考慮左側矩陣的行，第一行與中間矩陣的各個行向量進行線性組合，右側矩陣的第乙個行向量就是這個線性組合的結果，可觀察容易得出左側消元矩陣第一行為（1 0 0）。其實只需要由變換（row2=row2-3*row1）可得，消元矩陣中只有第二行有不同於單位矩陣的數值，即（-3 1 0）。
第二步消元：
以上每一步消元都使用到乙個初等矩陣進行變換，我們將這些初等矩陣變換步驟綜合起來（為什麼綜合起來？原因之一是更節省空間），即
有什麼矩陣可以一次性完成e32和e21的消元任務呢？可以用結合律將e32和e21乘起來得到，但我們不這樣做。
逆矩陣，右側消元矩陣表示的變換是row2減去3倍row1，將右側向量從（2 12 2）變成（2 6 2）。現在需要將（2 6 2）通過找到某矩陣取消這次消元，減去多少就加回來多少，變回（2 12 2），即該矩陣乘以初等矩陣得到單位矩陣。
即：原矩陣是a，e1a=b，e2e1a=e2b，a=e2b（e2會將b變回a），ia=e2b，e2e1=i，e2與e1互為逆矩陣。
置換（permutation）矩陣：即交換行或交換列的變換矩陣
行交換：
列交換：
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