第三課時：a的lu分解
一、a=la分解
消元的目的，只是為了更好正確的認識矩陣的概念，a=lu是最基礎的矩陣分解。l是下三角矩陣，u是上三角矩陣。a通過消元最終得到u，l即a與u之間的聯絡。
先看a矩陣通過初等矩陣消元得到u：
這裡要求的是a=lu，l和消元矩陣e是什麼聯絡呢？l與e互為逆矩陣。消元矩陣的逆是比較容易求的
有時我們將u中的主元提取出來，其餘的位置設為0，即diagonal對角陣d，可分解得到
ldu，兩邊各乙個三角矩陣，中間乙個對角陣。
假設在三維矩陣中，消元步驟中不需要任何行交換，
l是各消元矩陣的逆的反向乘積。
為什麼要用逆的形式？即上圖中為什麼下面的逆的形式的等式要比上面的等式要好？
舉下面的例子，兩個消元矩陣e21（行2減去2倍行1）和e32（行3減去5倍的新行2）相乘得新的右側消元矩陣，那麼，從右側結果顯示，元素10是我們不喜歡的（但它確實是運算結果），e21（行2減去2倍行1）和e32（行3減去5倍的新行2）這種順序，行1（元素10）怎麼就影響到了行3呢？這是因為，第一步中有2倍行1從行2中減去了，然後在第二步中又乘5倍從行3中減去，因此總共在行3中加上了10倍行1。因此，這種形式不是我們喜歡的，但逆的乘積則不是這樣的。
對於「第一步中有2倍行1從行2中減去了，然後在第二步中又乘5倍從行3中減去，因此總共在行3中加上了10倍行1」，我舉個例子解釋一下：
1 2 0
3 4 1
5 0 5
該矩陣通過以上所描述的進行變換，第一步第二行有：3-2*1 4-2*2 1-2*0
最終第二步第三行有：5-5*（3-2*1） 0-5*（4-2*2） 5-5*（1-2*0）
即：5-5*（3-2*1） 0-5*（4-2*2） 5-5*（1-2*0）= 5-5*3+10*1 0-5*4+10*2 5-5*1+10*0
由這個結果不難看出「總共在行3中加上了10倍行1」的結論了。
現在我們
反向計算，順序倒過來求逆的積。l中矩陣相乘的順序非常好，2和5不會衝突，不會得到10。即要求出l，不需要任何運算，只需要把所有消元乘數都寫進來，就能得到l。
總結下：a=lu，如果不存在行互換，消元乘數，即消元步驟中的需要乘以並減去的那個倍數，消元乘數可以直接寫入l中。即只要步驟正確，可以在得到lu過程中把a拋開。例如，當你完成a第二行的消元時，為了得到lu，你只需要記住u中新的第二行是什麼，同時消元所用的乘數也需要記住，至於a是什麼不需要管。
二、消元耗費次數
消元共耗費了多少次？a變成u
把消元中的一次加和乘操作看為「一次」操作。100*100的矩陣，第一主元的消元需要接近100*100的操作（第一行不變），第二主元的消元需要接近99*99的操作（第二行不變）。。。。
因此n維矩陣的消元一共需要次數接近1/3 n3，1/3是考慮到求和式子中數字在逐漸減小，如果不減小的話應該是n*n2，這才是n3。這其中有微積分的知識：從1到n對x2dx進行積分，結果得到1/3n3，微積分其實是考慮連續情況下的「求和」（但線性代數式離散的）。
另乙個問題：之前是a進行消元得到u，那麼加上右側常數列b，它需要多少次操作？把它放到消元步驟中，然後進行回代，一共需要n square次操作，要比a進行變換的次數少得多。
因此，經常有矩陣a和幾個右側向量，這時對a進行更多次操作，將其分解乘l和u，來完成消元，之後就可以以較少次數處理右側向量了。這時方程組運算中最基本的運算問題。
三、轉置與置換permutations，置換矩陣群
若允許行互換，當主元位置為0時，要進行行互換，置換矩陣可以進行行互換。來看看3維下的所有置換矩陣：
1）置換矩陣兩兩相乘結果仍然在該群中
2）取其逆，只用將行換回去，結果也在該群中
3）個別置換矩陣的逆矩陣就是其置換矩陣本身（比如上面的前4個，其轉置等於本身），但對於所有的，
總結來說是：置換矩陣的逆是等於其轉置。
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