sicp 習題 1.14要求計算出過程count-change的增長階。count-change是書中1.2.2節講解的用於計算零錢找換方案的過程。
要解答習題1.14，首先你需要理解count-change的工作方式，要理解count-change的工作方式，最好是自己去實現一遍count-change。
為了避免自己直接抄書中的**，我決定自己實現一遍用來找換人民幣的的「count-change」。事實上，我在看完並理解count-change的**後，當我去實現人民幣版的「count-change」時，我就強制自己不再回去看「count-change」的**，保證自己有更多的主動思考。
有意思的是，當我實現完了回去看書上的**，發現兩者還是有挺大的區別，雖然演算法是一樣的，結果也都正確的。
首先我們得有個過程遍歷各種零錢，我為了簡化程式，只做了「元」的找換，「分」和「角」就略過了。
遍歷各種零錢的過程如下，就是遍歷「1元」，「2元」，「5元」，「10元」，「20元」，「50元」，「100元」這幾種零錢。
這裡就和書上有點差別，書上是記錄現在還可以使用幾種零錢，根據可以使用的零錢種類數量返回其中最大面值的金額。
我是簡單粗暴地從最小面值遍歷到最大面值。
(define (rmb-change-next-kind change-kind)
(cond ((= change-kind 1) 2)
((= change-kind 2) 5)
((= change-kind 5) 10)
((= change-kind 10) 20)
((= change-kind 20) 50)
((= change-kind 50) 100)
(else 0)))
書中講到的找換零錢的方法基於以下基本思路：
比如我們需要將100塊的人民幣找換成零錢，有幾種找換方式？可以簡單分為兩種：有使用1塊面額的，和沒有使用1塊面額的。
對於有使用1塊面額的，把這一塊錢去掉，剩99塊，我們又可以繼續看99塊有幾種找換方式。找到99塊的所有找換方式，在加上現在這裡去掉的1塊錢，就是100塊找換方式中有使用1塊的所有找換方式。
對於沒有使用1塊面額的，我們就需要看看100塊找成其它面額（不包含1塊）的找換方式。
然後將上面兩種型別的數量加起來就是100塊的所有找換方式。
可以看到，以上的思路對應的是樹形遞迴，每次遞迴呼叫分兩路，一路呼叫的找換總額減少，一路呼叫的找換幣種減少。
我的實現方法是下面這樣的，和書上略有不同。
(define (rmb-change-recursive amount change-kind change-result)
(if (= amount 0) (format #t "got one: ~s~%" change-result))
(cond ((= amount 0) 1)
((< amount 0) 0)
((= change-kind 0) 0)
(else (+ (rmb-change-recursive amount (rmb-change-next-kind change-kind) change-result)
(rmb-change-recursive (- amount change-kind) change-kind (cons change-kind change-result))))))
如果對上面的過程不理解，建議回去讀書中的1.2.2節，讀懂為止。
好的，現在才到我們真正的題目了，第乙個是找出11塊的找換方式，這種比較容易，可以按以上的方式手工列出，也可以直接執行**看看結果。
問題的第二部分比較麻煩，就是問，對於現金量的增長，以上過程的空間增長階和時間增長階是什麼？
如果對增長階的概念沒有理解透，這題很難解。
我們先開始分析一下，如果發現過程中有不理解的，需要回去書上看看增長階的內容。
首先來看看空間增長階，當我們需要計算12塊的找換方式時，比計算11塊的找換方式需要增加多少記憶體？
當然，空間增長階不能簡單理解為需要增加多少記憶體，可能會有其它的空間需要，或者人家用紙算，根本不用記憶體，我們在這裡就粗暴地將空間理解為記憶體吧。
增加多少記憶體呢？也不需要計算準確數字，只要計算大概的敏感度就好了。比如增長是線性的，多計算1塊錢就多需要100k左右的空間。又或者是二次方曲線的增長，計算11塊時需要11的二次方的空間，二計算12塊時需要12的二次方的空間。這些就是我們要求的增長階。
對於書中的count-change過程，空間增長階是多少呢？
對於遞迴過程的空間增長階，一般是去計算遞迴計算過程的最深深度。因為過程呼叫完以後，其使用的空間是會被釋放的，我們需要計算的是被那些一直遞迴呼叫自己，目前還沒有返回的過程所占用的空間。
同時需要注意每次遞迴呼叫的引數有沒有累加，累加的形式是什麼。
以上過程的遞迴巢狀最深的就是全部用1塊來找換，巢狀深度就是要找換的金錢量，11塊就是巢狀了11層，100塊就是巢狀100層。而呼叫過程中引數沒有累加，只是不斷替換而已。
所以，count-change過程的空間增長階是theta[n]。
不過，我這裡設計的過程好像有點不一樣，為了列印所有可能的找換方式，我定義了乙個引數用於儲存目前計算過的暫時可行的零錢組合，就是引數change-resule。這個引數占用的空間是如何變化的呢？
可以發現，這個引數中的元素最多的時候就是全部找成1元的時候，這時候change-result中的值是：（1 1 1 …. 1）共有n個。而每次遞迴呼叫都有乙個列表需要暫時保留，所以，當遞迴呼叫到最深層的時候，其實有n個列表，分別是(1) (1 1) (1 1 1) ….. (1 1 1 1 …. 1 1)，所以這裡占用的空間是1到n的累加。
所以我的rmb-change過程的空間增長階是theta[n的累加]，因為在求增長階的時候只取多項式中最高端的那項，theta[n]就被忽略了。
以上是空間增長階，那麼步數的增長階呢？或者說是時間增長階呢？
書中習題要求的是步數的增長階，我們一般假設執行計算的每一步都消耗等同的時間，所以時間的增長階和步數的增長階應該是一致的。有關這個假設是否正確後面的習題還有詳細的討論，目前暫時認為時間增長階和步數的增長階相同。
這個增長階的求解過程比較複雜，我也到網上參考了好多別人的解法，有許多種思路。我總結了乙個我個人比較容易理解的解法，描述如下：
以我這裡的例子，找換面額種類有7種，分別是「1元」，「2元」，「5元」，「10元」，「20元」，「50元」，「100元」。
為了方便表達，我們用函式(t n m)來表示以上過程的時間複雜度，其中n是需要找換金額總數量，m是用於找換的零錢的面額的種類數量。
如果把1000元錢進行找換，可以把1000元的找換方式分為 「使用1元的」 和 「不使用1元的」 兩種方式，就是：
（t 1000 7) ＝ （t 999 7） ＋ （t 1000 6）
而999元的找換方式又可以分為 「使用1元的」 和 「不使用1元的」 兩種方式，就是：
（t 999 7) ＝ （t 998 7） ＋ （t 999 6）
如此不斷分解，就可以得到1000個分支，每個分支帶乙個(t n 6)。
也就是所這裡的(t n 7) = 1000 * (t n 6) = n * (t n 6)
再來計算(t n 6)，在這裡也就是( t 1000 6）
就是把1000元找換成
「2元」，「5元」，「10元」，「20元」，「50元」，「100元」這6種零錢。
按上面相同的方法有：
（t 1000 6) ＝ （t 998 6） ＋ （t 1000 5）
（t 996 6) ＝ （t 996 6） ＋ （t 1000 5）
（t 994 6) ＝ （t 994 6） ＋ （t 1000 5）
....
按以上方法可以拆出500個分支（就是n/2個分支，因為這次是從2元開始找），每個分支帶乙個(t 1000 5)。
就有(t 1000 6) = n/2 * ( t 1000 5)
以此類推就有(t 1000 7) = n * ( n/2 * ( n/5 * ( n/10 * ( n/20 * (n/50 * (n/100))))))，其中的除數就是各個面額。
就有(t 1000 7 ） = (n 的 7次方)/10000000
因為我們在求增長階，所以直接取增長階為 （n 的 7次方）
雖然除數10000000也算是個很大的數，不過在n大到一定程度時，（
n 的 7次方）就變成乙個超級大的數，這時10000000也就不算什麼了。
這同時也符合我們觀察到的現象，當n很小時，實際需要的步數遠小於（
n 的 7次方）。
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