關於最簡行階梯矩陣和矩陣秩，可參考《線性代數筆記7——再看行列式與矩陣》
召喚乙個方程ax = b：
3個方程4個變數，方程組有無數解，現在要關注的是b1b2b3之間滿足什麼條件時方程組有解，它的解是什麼？
在這個例子中可以馬上看出，b1+b2 = b3，一般的方法是消元法化簡：
化簡到這一步就可以確定主元是x1和x3。通過最後一行可知，b3 – b2 - b1 = 0。b1b2b3可以是任意數，所以只要滿足b3 – b2 - b1 = 0，方程組就有解。這樣的組合很多，可以很容易找到乙個特解：
到此為止回答了第乙個問題，什麼樣的b才能使ax = b有解。現在需要回答另乙個問題，ax = b的所有解是什麼？
可以先找出乙個特解，方法是令所有自由元為0，然後解出主元：
已經找到了乙個特解，那麼方程組的其它解，也就是通解是什麼呢？
假設ax= 0的零空間的任意向量是xn，ax = b有乙個特解xp，那麼有：
二者相加：
所以方程組的通解是xn + xp。對於方程組的某解xp來說，xp與零空間內任意向量之和仍為解。現在看看零空間：
綜合特解，得到ax = b的通解：
矩陣的秩和主元個數相同。如果a是乙個m行n列的矩陣，其主元的個數一定小於m，並且也小於n。如果a的每一列都有主元，那麼a是滿秩矩陣，沒有自由元，如果此時有解，則解是唯一的，就是特解，即x = xp，此時不需要求解零空間，零空間只包含零向量。
出處：
線性代數筆記
ps 課程連線 link 將矩陣看作是向量的函式 轉換函式 1.子空間 假設v是乙個向量空間，如果s是v的子集，且s對加法和數量乘法封閉，則稱s是v的乙個子空間。對於向量空間，一定注意 v的任何子空間都一定包含o 零空間 2.維度 乙個空間的基中，向量的個數 注意 不能簡單的通過基中元素個數來確定維...
線性代數筆記
記一下怕忘。齊次線性方程 x1 x2 xn 0 非齊次線性方程 x1 x2 xn n 增廣矩陣 又稱擴增矩陣 就是在係數矩陣的右邊添上一列，這一列是線性方程組的等號右邊的值。矩陣的秩 方陣 行數 列數相等的矩陣 的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r a rk a 或...
線性代數筆記 GS
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