最近學習了一下演算法導論中的概率分析和隨機演算法,現總結如下
1.雇員問題
乙個公司面試n個面試者，一但發現當前這位員工比之前的面試者都要好，那麼就會雇用他
抽象為乙個排列問題，如2,1,3,5,4， 那麼2,3,5會被僱傭因為1比2要小，4比5小。
進一步可以變為乙個判斷排列中逆序對的問題，初始序列為1,2,3,4,5那麼根據規則，所有人會被僱傭。而序列中每增加乙個逆序對，被僱傭的人數就會減一。
問題1.怎麼樣生成乙個[1~n]的隨機排列？
問題2.在輸入為隨機排列的情況下僱傭人數的期望為多少？
對於問題1，有乙個直觀的方法--生成對應的隨機數，然後按隨機數對輸入序列進行排序。還有乙個方法如下
for i=1 to n
swap(i,randon(i,n))
分析：用數學歸納法
1.從1開始的時候，每個數字出現在1位置的概率為1/n
2.為2的時候所有數字出現在2的概率為(1-1/n)*1/(n-1)=1/n
3.在k位置出現的概率為1/n
4.在k+1位置出現的概率為(1-k/n)*1/(n-k)=1/n
所有在所有位置的概率均為1/n
對於求期望的問題，我們習慣的是使用x*p(x)求和的形式，在這個問題中x均為(0,1)即錄用和不錄用然後在看每個元素的概率，任取乙個元素i，它比之前的元素大的概率均為1/i，故期望為1+1/2+1/3+...+1/n=lnn
2.投球問題
你有很多球和b個框
1.每個框有乙個球，你期望要投多少次？
2.有乙個框有兩個球，你期望投多少次？
對於問題1，記ti為有i-1個框有球然後使得i個框有球投的次數，那麼每次投到乙個沒有球的框中的概率p=(b-i+1)/b-,故需要投b/(b-i+1)次，求和即為期望
問題2，投一次不可能有乙個框兩個球，p=0
投兩次，從剩下的框中選乙個p=1/b
投三次，p=2/b
投b次，p=(b-1)/b
投b+1次，p=b/b=1
3.生日問題
同學聚會，請多少位同學可以保使得們當中至少有兩個人的生日在同一天？
解法1：求對立面n同學的生日各不相同，c(n,365)/365^n<1/2
解法2：
1位同學 生日相異p1=1
2位同學 生日相異p2=1-1/365
3位同學 相異在前2位同學相異的基礎之上和他們兩個生日不同p3=p2*(1-2/365)
n為同學不同pn=p1*p1*p3*...(1-(n-1)/365)
求解pn<1/2即可
幾何概率問題 相遇概率
假設小白與小仙晚上7點到8點之間都會前往某地看燈展，約定到的人等另外乙個人15分鐘方可離開，若他們在限時內到達，相遇的概率是多少？解析 這是乙個幾何概率問題。他們能見面的充要條件是時間差不超過15分鐘，即1 4小時。因為兩人沒有確切的時間，故樣本點由兩個數 甲乙兩人各自到達的時刻 組成。以7點鐘作為...
概率相關總結
該文會不定期的進行概率知識的查漏補缺。一般的，用p x p x p x 表示概率，x rho x x 表示概率密度。結論概率p x p x p x 都是離散的值，x表示一系列離散的事件，對於連續的事件 例如在自然數區間上取某個數的概率 我們通常不會去計算某個確定事件的概率，因為必然是無窮小 通常我們...
概率公式總結
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