我們定義形如\(f(x) (x\in[0,1])\)且\(f(1) = 1\)，\(f\)為遞增函式的函式為概率函式。
其中\(f(x)\)的定義是當\(t\)小於\(x\)時的概率。
不妨令t\(_a(x)\)表示在a個點的情況下，角度小於x的概率。這裡採用度數\(=2x\pi\) 的換算，也就是說，$ x \in [0,1] $。
顯然，\(\mathrm_a(1) = 1\)。
\(\mathrm_2(x) = 2x[x \in [0,0.5]]\)
\(\mathrm_3(x)\) = \(x\mathrm_2(x) + \int_0^x \mathrm'_2(t) (x-t) \mathrm d t (x \in [0,0.5])\)
= \(3x^2 (x \in [0,0.5])\)
\(\mathrm_4(x)\) = \(x\mathrm_3(x) + \int_0^x \mathrm'_3(t) (x - t) \mathrm d t (x \in [0,0.5])\)
= \(4x^3 (x \in [0,0.5])\)
所以，\(\mathrm_4(0.5) = 1/2\)。
q. e. d.
ex. 更特別地，觀察$\mathrm_2(x) = 2x,\mathrm_3(x) = 3x^2,\mathrm_0(x) = 4x^3 $, 容易猜想 \(\mathrm_n(x) = nx^\)
$\mathrm_2(x) = 2x^, $
\(\mathrm_n(x) = x\mathrm_(x) + \int_0^x \mathrm'_(t) (x-t) \mathrm d t\)
\(\color_n(x)}\color = (n-1)x^ + \int_0^x (n-1)(n-2)t^(x-t) \mathrm d t\)
\(\color_n(x)}\color = (n-1)x^ + (n-1)(n-2) \int_0^x xt^ -t^ \mathrm d t\)
$ \color_n(x)}\color=n x ^$
給出\(x_1,x_2 \in [0,1]\)的隨機變數，求出\(\frac < p(p\in[0,0.5])\)的概率。
\[\mathrm t(x) = x \\\mathrm g(x,y) = 2x - y \\\rightarrow \mathrm f(x) = \int_0^ \mathrm t'(t)\mathrm g(x,t) \mathrm d t \\ = \int_0^ 2x - t \mathrm d t \\ = (2xt-1/2t^2)|_ - (2xt-1/2t^2)|_ \\ = 2x^2
\]顯然這個演算法可以推至 \(n\) 個隨機變數的情況。
給出\(x_1,x_2 \in [0,1]\)的隨機變數，求出\(x_1x_2 < p(p\in[0,1])\)的概率。
\[\mathrm t(x) = x \\\mathrm g(x,y) = \min (x/y,1) \\\rightarrow \mathrm f(x) = \int_0^ \mathrm t'(t)\mathrm g(x,t) \mathrm d t \\ = \int_x^ x/t \mathrm d t + \int_0^x1\mathrm d t\\ = (x\ln t)|_ - (x\ln t)|_ + x \\ = -x\ln x + x
\]
全概率公式
1.如果事件組b1，b2，滿足 1.b1，b2.兩兩互斥，即 bi bj i j i,j 1，2，且p bi 0,i 1,2,2.b1 b2 則稱事件組 b1,b2,是樣本空間 的乙個劃分 設 b1,b2,是樣本空間 的乙個劃分，a為任一事件，則 上式即為全概率公式 formula of total...
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