仿射（Affine）空間

affine幾何是研究這樣一種幾何: 它只涉及兩點之間的向量，而不考慮實際的距離、角度，甚至不考慮作為參照的原點。這些幾何構成的空間就是affine空間。

affine空間

相比較於熟悉的歐幾里得空間，affine有一些特別的性質。比如歐式空間認為空間中有乙個原點，對於這個原點有向量a與b。在affine空間中認為任意一點均可作為原點，對同樣兩個點有向量a』和b』。在兩個空間中把向量分別相加：

歐式空間：a + b

affine空間：a』 + b』 = p + (a – p) + (b - p)

這就導致在兩個空間中同一種運算可以得出不同的結果。比如有乙個a和b的線性組合c：

c = 4a + 6b

c』 = 4a』 + 6b』 = p + 4a - 4p + 6b - 6p = 4a + 6b -9p

可以看到c』多了乙個p項。如果我們要令它們相等就必須把這個係數變為0，即線性組合係數之和為1。

考慮：

c = 0.4a + 0.6b

c』 = 0.4a』 + 0.6b』 = p + 0.4a – 0.4p + 0.6b – 0.6p = 0.4a + 0.6b

c = c』

affine空間的好處

如前所述，如果線性組合係數為1，那麼兩種空間中的運算沒有任何區別，affine空間還更加簡便。如果一幾何體是「affine invariant」的，就是說它不管是被旋轉、縮放還是平移，都不會改變它的性質。

再舉乙個複雜些的例子。有乙個10x3的mesh，pc在乙個轉換矩陣u (100x10)作用下變成了100x3的mesh, pf。

pf = u * pc

考慮pf中任意乙個點=

u_i,1 * + u_i,2* + … + u_i,10 *

pf中的任何乙個點都可以看成pc中點的線性組合，而u中的每一行都是對應一組pf點的係數。如上可知，如果u中每一行的係數之和都取為1，就可以保證在變換後的幾何圖形是affine invariant的。另外，u中每一列對應一格pc點，所以每列叫做乙個pc點的shape function。