1. 仿射變換的應用
1. 在用ps時，大家一定用過旋轉、水平剪下和垂直剪下的操作。
2. spm在fmri影象資料預處理時，normalize歸一化這一步時，需要將帶配準影象與來自standard space的模板影象進行配準，配準除了涉及旋轉、平移這些剛體變換之外，還包括放縮、錯切。這就構成了a full affine transformation全仿射變換。
3. 做計算機圖形學的朋友都知道，儘管描述乙個三維物件只需要三維向量，但所有的計算機圖形學變換矩陣都是4 x 4的。說其原因，很多書上都寫著「為了使用中方便」，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關。真正的原因，是因為在計算機圖形學裡應用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進行的。
所謂的「仿射變換」就是一種簡單的變換，它的變化包括旋轉、平移、伸縮，原來的直線仿射變換後還是直線，原來的平行線經過仿射變換之後還是平行線，這就是仿射。保持二維圖形的「平直線」和「平行性」，其可以通過一系列的原子變換的復合來實現，包括
平移(translation)
縮放（scale）
翻轉（flip）
旋轉（rotation）
剪下(shear)
這個矩陣包含的變換有旋轉和平移，其實是兩個矩陣的混合體，許多文章都對這個做了很詳細的描述。仿射變換的數學公式裡，是如何做到座標點位置的平移呢？清楚這個才是弄明白仿射變換的關鍵。
利用此圖可以完成仿射變換公式的推導，推導如下：
2.1 旋轉操作的矩陣實現
乙個點p在原始座標系下的座標是(xsp,ysp)。然後要完成旋轉操作，旋轉操作是基於原點的，如何得到旋轉之後的點的座標，這裡用到乙個技巧，座標系中某個點的旋轉可以等價地去旋轉座標軸，所以有了上圖中以(xs0,ys0)為中心的虛線與螢幕水平垂直的座標系。在這個座標系中確定p的座標，和在藍色座標系中確定旋轉之後p的座標是等價的。基於這個結論，我們可以通過簡單的立體幾何知識確定p在新座標系中的座標。p在新座標系中的x座標和y座標分別是
這就是仿射變換模型中旋轉部分的原理，還有一步，就是平移。
2.2 平移的實現
旋轉變換之後，我們確定了p點在新座標系中的位置，然後在這個位置的基礎上加上其在x軸和y軸的偏移即可
仿射變換的矩陣橫空出世。當然上圖中對這個變換的處理更巧妙，它還是利用了不移動點移動座標系的策略，將座標係向相反方向移動了相應的距離。於是有了上圖這個經典仿射變換模型的圖示展現。
上圖中我們可以看到，整個在對p點進行仿射變換的過程中，p點的位置並沒有移動，我們是通過不斷的座標系的調整來間接達到p點移動的效果，這充分說明了一件事：
運動都是相對的。平移變換，將每一點移動到(x+tx, y+ty)，變換矩陣為：
（譯註：平移變換是一種「剛體變換」，rigid-body transformation，中學學過的物理，都知道啥叫「剛體」吧，就是不會產生形變的理想物體，平移當然不會改變二維圖形的形狀。同理，下面的「旋轉變換」也是剛體變換，而「縮放」、「錯切」都是會改變圖形形狀的。）
3.2.publicstaticaffinetransform getscaleinstance(doublesx,doublesy)
縮放變換，將每一點的橫座標放大（縮小）至sx倍，縱座標放大（縮小）至sy倍，變換矩陣為：
剪下變換，變換矩陣為：
相當於乙個橫向剪下與乙個縱向剪下的復合
（譯註：「剪下變換」又稱「錯切變換」，指的是類似於四邊形不穩定性那種性質，街邊小商店那種鐵拉門都見過吧？想象一下上面鐵條構成的菱形拉動的過程，那就是「錯切」的過程。）
3.4.publicstaticaffinetransform getrotateinstance(doubletheta)
旋轉變換，目標圖形圍繞原點順時針旋轉theta弧度，變換矩陣為：
旋轉變換，目標圖形以(x, y)為軸心順時針旋轉theta弧度，變換矩陣為：
[ cos(theta) -sin(theta) x-x*cos+y*sin]
[ sin(theta) cos(theta) y-x*sin-y*cos ]
[ 0 0 1 ]
相當於兩次平移變換與一次原點旋轉變換的復合：
[1 0 -x][cos(theta) -sin(theta) 0][1 0 x]
[0 1 -y][sin(theta) cos(theta) 0][0 1 y]
[0 0 1 ][ 0 0 1 ][0 0 1]
4. 仿射變換效果圖
順時針旋轉30度：
水平剪下：
垂直剪下：
仿射函式和仿射組合
假設f是乙個矢性函式，若它可以表示為f x1,x2,xn a1x1 a2x2 anxn b，其中ai可以是標量，也可以是矩陣，則稱f是仿射函式。矢性函式定義 標性函式f x ax b 即我們通常見到的函式 其中a x b都是標量。維基百科的解釋 affine combination,a certai...
剛性仿射變換演算法 仿射變換
哎慢慢來吧，感覺一大堆東西看不懂.仿射變換就是affine transformation 這是乙個跟影象相關的變換，影象變換是通過矩陣變換來實現的。影象的幾個基本變換有平移 縮放 旋轉 仿射 透視。剛性變換 就像這個題目這樣顯示的，就是非常強硬的變換，在這個二維平面上開始是怎麼樣，後來就是怎麼樣 仿...
仿射（Affine）空間
affine幾何是研究這樣一種幾何 它只涉及兩點之間的向量，而不考慮實際的距離 角度，甚至不考慮作為參照的原點。這些幾何構成的空間就是affine空間。affine空間 相比較於熟悉的歐幾里得空間，affine有一些特別的性質。比如歐式空間認為空間中有乙個原點，對於這個原點有向量a與b。在affin...