仿射變換,給出乙個點在平面旋轉θ
\theta
θ角的仿射矩陣.
題目內容
仿射變換(atf,affine transformation) 是影象的線性變換,對於乙個集合x
xx 的仿射變換可以表示為:
f (x
)=ax
+b,x
∈x
.f(x) = ax+b, x \in x.
f(x)=a
x+b,
x∈x.
對於我們需要處理的影象集合而言,可以表示為:
g (x
,y)=
af(x
,y)+
b.
g(x,y) = af(x,y)+b.
g(x,y)
=af(
x,y)
+b.其中a
aa矩陣就是仿射變換矩陣.
仿射變換
常用的仿射變換包括:
縮放: scale
旋** rotate
平移: transform
反射: reflection
錯切: shear
可以參考圖:
[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-g7dm8xjc-1585143190947)(
仿射變換中集合中的一些性質保持不變：
（1）凸性
（2）共線性：若幾個點變換前在一條線上，則仿射變換後仍然在一條線上
（3）平行性：若兩條線變換前平行，則變換後仍然平行
（4）共線比例不變性：變換前一條線上兩條線段的比例，在變換後比例仍然步
注：所有的三角形都能通過仿射變化為其他三角形，所有平行四邊形也能仿射變換為另乙個平行四邊形。
由於仿射變換是線性的,所以仿射變換的任意組合仍然是線性的.
仿射變換矩陣推導
仿射變換矩陣推導以 矩陣旋轉為例,也是面試題目的內容:
假設原本點為 c
cc 點,旋轉 θ
\theta
θ 角度之後到達 b
bb 點, 計算旋轉矩陣 a. 以二維矩陣為例
[外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳(img-qta1thi7-1585143190956)(
對於c ,b
c,bc,
b兩點表示成極座標為 c(r
cosα,
rsinα
)c(r\cos\alpha,r\sin\alpha)
c(rcosα,
rsinα)
,b (r
cos(α
+θ),
rsin(
α+θ)
)b(r\cos(\alpha+\theta),r\sin(\alpha+\theta))
b(rcos(α
+θ),
rsin(α
+θ))
,對於x b=
rcos(
α+θ)
=r
(cosα
cosθ−
sin
αsinθ
)=
(cosθ
−sinθ
)x
cx_b = r\cos(\alpha+\theta) = r(\cos\alpha\cos\theta-\sin\alpha\sin\theta) = (\cos\theta -\sin\theta)x_c
xb=
rcos(α
+θ)=
r(cosα
cosθ
−sin
αsinθ)
=(cosθ
−sinθ)
xc
y b=
rsin(
α+θ)
=r
(sinα
cosθ+
cos
αsinθ
)=
(sinθ
+cosθ
)y
cy_b = r\sin(\alpha+\theta) = r(\sin\alpha\cos\theta+\cos\alpha\sin\theta) = (\sin\theta+\cos\theta)y_c
yb=
rsin(α
+θ)=
r(sinα
cosθ
+cos
αsinθ)
=(sinθ
+cosθ)
yc所以可以推導出如下矩陣
[ xb
yb]=
[cosθ
−sinθ
sin
θcosθ
][xc
yc
]\left[ \begin } \\ \end \right] =\left[ \begin & \\ & \end \right] \left[ \begin } \\ \end \right]
[xbyb
]=
[cos
θsinθ
−sin
θcosθ
][xc
yc
]內容延展
\begin
} \\
\end
$$
剛性仿射變換演算法 仿射變換
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