一些基礎概念：
樣本點（sample point）是乙個隨機實驗的乙個可能結果，所有的樣本點構成樣本空間。
事件是樣本空間的乙個子集，如果乙個事件是空集則稱為不可能事件；如果是全集 \(\omega\) 那麼就是必然事件。如果乙個事件只包含乙個樣本點則稱為基礎事件，所有事件都可以劃分成基礎事件的不交並。
概率是乙個事件的測度在樣本空間上的測度的佔比。在離散概率中，這就是事件包含的樣本點個數除以總樣本點個數。、
假設我們有乙個函式 \(x:\omega\rightarrow\mathbb\) 將每乙個事件對映到乙個實數，那麼我們就稱 \(x(\omega)\) 是乙個隨機變數，也簡寫成 \(x\)。
對於基礎事件全體，我們可以求得乙個隨機變數在其上的加權平均值，其中權值就是基礎事件的發生概率，這被稱作是隨機變數 \(x\) 的期望 \(\mathbb[x]\)。在離散概率學，這就是
\[\mathbb[x]=\sum_x(\omega)p(\omega)
\]條件概率：已知事件 \(b\) 發生，事件 \(a\) 發生的概率被稱作 \(b\) 條件下 \(a\) 的條件概率
特別地，如果 \(a\) 和 \(b\) 相對獨立，那麼 \(p(a|b)=p(a)\)
一些常用的柿子：
貝葉斯公式：
\[p(a|b)=\frac
\]聯合分布概率公式：
\[p((ab)|c)=\frac=\frac\frac=p(a|(bc))p(b|c)
\]以及反著用的：
\[p(a|(bc))=\frac
\]min-max 反演的期望形式：
\[\mathbb[\max s]=\sum_(-1)^\mathbb[\min t]
\]kth min-max：
\[\mathbb[k\ \text\max s]=\sum_^\binom\mathbb[\min t]
\]如果正著做需要考慮條件概率，那麼應當考慮反著做（yny 血淚教訓）
概率與期望 期望雜談
本文所涉及的概率與期望問題，僅建立在離散型隨機變數之上。連續性期望的計算要用到微積分，那是我不會的東西。說白了，數學期望其實就是隨機變數結果的平均值。乙個離散型變數的數學期望為該變數內每個取值的概率與其取值的乘積的總和。e x sum a p a 類似與於加權平均。1.設c是乙個常數，那麼有 e c...
概率 期望（存檔）
近年的 acm競賽中，數學期望問題常有涉及，在以前也常讓本人感到很頭疼，近來突然開竅，掌握了基本的分析方法，希望對大家有幫助。寫得淺薄，可能數學上不夠嚴謹，只供理解。首先，來看下期望有啥基本的公式。對離散型隨機變數 x，其概率為 p，有對隨機變數a b,有第二條式子是今天的主角，他表明了期望有線性的...
概率期望整理
目錄貝葉斯公式 獨立事件 期望後序補充 公式 a b p a b p a p b 沒什麼好說的.兩個集合無交集,那麼他們的並集發生的概率就是兩個事件發生概率的和.如果兩個集合之間有交集,利用容斥.a b p a b p a p b p a b p a b dfrac 就是在事件b中事件a發生的概率....