加法法則
\[(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)
\]證明：
\[\begin
(f(x)+g(x))'
&=\lim_\frac\\
&=\lim_\frac\\
&=\lim_\frac+\frac\\
&=f'(x)+g'(x)
\end
\]證畢.
減法法則
\[(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)
\]與加法證法相似.
證：\[\begin
(f(x)-g(x))'
&=\lim_\frac\\
&=\lim_\frac\\
&=\lim_\frac-\frac\\
&=f'(x)-g'(x)
\end
\]證畢.
乘法法則
\[(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)
\]證：
\[\begin
(f(x)g(x))'
&=\lim_\frac}}\\
&=\lim_\frac\\
&=\lim_\frac\\
&=\lim_\fracg(x+\delta x)+\lim_\fracf(x)\\
&=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)
\end
\]證畢.
除法法則
\[(\frac)'=\frac
\]證明：
\[\begin
(\frac)'
&=(f(x)\frac)'\\
&=\frac+f(x)(\frac)'
\end
\]又因為：
\[\begin
(\frac)'
&=\lim_\frac\\
&=\lim_\frac-\frac}\\
&=\lim_\frac}\\
&=\lim_\frac\lim_\frac\\
&=-g'(x)\frac\\
&=-\frac
\end
\]代入得：
\[\begin
(\frac)'
&=\frac+f(x)(\frac)'\\
&=\frac-f(x)\frac\\
&=\frac-\frac\\
&=\frac
\end
\]證畢.
給出 \(n\) 次多項式函式 \(f(x)=a_nx^n+a_x^+\cdots+a_1x+a_0\) ，求其導數 \(f'(x)\) .
給出公式：
\[f'(x)=\sum_^nka_kx^
\]證：
設 \(f(x)=a_nx^n\)，那麼：
\[\begin
f'(x)
&=\lim_ \frac\\
&=\lim_ \frac\\
&=a\lim_ \frac\\
&=a\lim_ \frac^n(c_n^kx^k^)-x^n}\\
&=a\lim_ \frac^(c_n^kx^k^)}\\
&=a\lim_ \frac^(c_n^kx^k^)+nx^\delta x}\\
&=a\lim_ ^(c_n^kx^k^)+nx^}\\
&=nax^
\end
\]所以：
\[f(x)'=(a_nx^n)'+(a_x^)'+\cdots+(a_1x)'=\sum_^nka_kx^
\]證畢.
設 \(f(x)=\frac\)，求其導數 \(f'(x)\).
給出公式：
\[f'(x)=-\frac
\]注：反比例函式即為多項式求導中 \(n\) 取 \(-1\) 的情況，但我們還是單獨證明一下。
證：\[\begin
f'(x)
&=\lim_ \frac\\
&=\lim_ \frac-\frac}\\
&=a\lim_ \frac}\\
&=-a\lim_\frac\\
&=-\frac
\end
\]證畢.
數學之道 微積分
我理想中的微積分課本則應該是先講定積分，再講導數，再講不定積分。先講定積分，不過千萬不能用現在的定積分符號，避免學生誤認為 定積分是由不定積分發展而來的。講自古就有的積分思想，講分割求和取極限的方法，自創一套定積分的符號。然後另起爐灶，開始講微分，講無窮小，講變化量。最後才講到，隨著 x 一點一點的...
數學建模 微積分及符號函式常用操作
1.數值微分 數值微分是用離散的方法近似地計算函式y f x 在某點x a處的導數值，前差公式 後差公式 中心差商 matlab中可以用diff函式實現前差公式的數值微分 函式形式 diff x 求解x的一階微分，x是乙個向量也可以是乙個矩陣，結果 x 2 x 1 x 3 x 2 x n x n 1...
微積分，定積分，導數的相關理解
個人 因為，在現實世界中，人們發現，在現實世界中，乙個事件 情 並不是孤立存在的，它與其他的乙個或多個事件，都有著非常緊密的聯絡，存在著某種函式關係，而借助於這種函式關係，那麼，我們就可以通過 函式關係和自變數，來研究 因變數。在學習過程中，要明白，那些是我要必須承認的？那些是我要研究的？我認為函式...