首先研究導數的數學家是費馬。
大約在2023年，法國數學家費馬研究了作曲線的切線和求函式極值的方法；2023年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時，他構造了差分f（a+e）-f（a），發現的因子e就是我們所說的導數f'（a）[1]。系統地研究導數的數學家是牛萊（牛頓、萊布尼茨）。
在前人創造性研究的基礎上，大數學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為「流數術」，他稱變數為流量，稱變數的變化率為流數，相當於我們所說的導數。牛頓的有關「流數術」的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮級數》.流數理論的實質概括為：他的重點在於乙個變數的函式而不在於多變數的方程；在於自變數的變化與函式的變化的比的構成；最在於決定這個比當變化趨於零時的極限 [2]。使導數趨於成熟的則是大數學家柯西。
2023年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數：如果函式y=f（x）在變數x的兩個給定的界限之間保持連續，並且我們為這樣的變數指定乙個包含在這兩個不同界限之間的值，那麼是使變數得到乙個無窮小增量 [3]。在給出導數的完整的定義之前，我們應當指出鄰域的概念。
請閱讀 數列極限（一）---許江一墨。
定義：當自變數x無限趨近某一數值x0(記作x→x0)時，函式f(x)的數值無限趨近某一確定的數值a，則a叫做x→x0時函式f(x)的極限值，並記作
，其中的「lim」 是英語「limit（極限）」一詞的縮寫，讀作」當x趨近於x0時，f(x)的極限值等於a」。
詳細的極限概念請參見數列極限（二）---許江一墨。
定義：設函式y = f(x)在點x0的某個鄰域上有定義，當自變數x在x0處有增量δx，（x+δx）也在該鄰域內時，相應的函式取得增量δy = f(x+δx) - f(x0)；如果δy/δx的值當δx→0時極限存在，則稱函式y = f(x) 在點x0處可導，並稱這個極限為函式y = f(x)在點x0處的導數，記作
，即其中的lim為limit(極限)的簡寫。
數學上把y =
稱為y = f(x) 的導函式，事實上，導函式可以進行再次求導，由此不難定義出高階的導數來。例如，路程與時間的一階導數為速度，二階導數即為加速度。
需要指出的是，並非所有的函式都可導，連續的函式不一定可導，不連續的函式一定不可導。如魏爾斯特拉斯函式。
實際上，導數的定義有很多種，如果大家不太理解鄰域的概念，可以選擇食用以下定義。
定義：當自變數的增量δx→0時，因變數的增量δy與自變數的增量δx之商的極限叫做導數或者微商。導數的含義，簡單來說就是y隨x變化的變化率，其幾何意義時該點切線的斜率。
根據導函式的定義，推導下列函式的導函式。
（1）y = x2;
（2）y = xn(n不等於0)；
（3）y = sin x；
ps：由於答案均為數學公式，不太好打，所以請自行思考。
微積分（二）導數悖論
目標 1.學習導數 2.怎麼避免矛盾 導數的測量是 instantaneous rate of change instantaneous 瞬間 rate of change 需要不同的時間點 瞬間的速度其實是沒有意義的，就像某一時刻給乙個行動的汽車拍照，它的速度是不能被計算的。所以 速度的定義是 單...
微積分，定積分，導數的相關理解
個人 因為，在現實世界中，人們發現，在現實世界中，乙個事件 情 並不是孤立存在的，它與其他的乙個或多個事件，都有著非常緊密的聯絡，存在著某種函式關係，而借助於這種函式關係，那麼，我們就可以通過 函式關係和自變數，來研究 因變數。在學習過程中，要明白，那些是我要必須承認的？那些是我要研究的？我認為函式...
MIT單變數微積分筆記1 導數1
導數是高數中的重要概念，被應用於多種學科。從物理意義上講，導數就是求解變化率的問題 從幾何意義上講，導數就是求函式在某一點上的切線的斜率。設函式y f x 在點x0的某個鄰域內有定義，當自變數x在x0處取得增量 x 點x0 x仍在該鄰域內 時，相應地函式y取得增量 y 如果 y與 x之比當 x 0時...