$ \left( c \right) ' = 0 $
$ \left( x^a \right) ' = a * x^ $
$ \left ( \sqrt \right )' = \frac} $
$ \left ( \frac \right )' = - \frac $
$ \left ( a^ \right )' = a^ * \ln a $
$ \left ( e^ \right )' = e^ $
$ \left ( \log _x \right )' = \frac $
$ \left ( \ln x \right )' = \frac $
$ \left(\sin x\right)' = \cos x $
$ \left(\cos x\right)' = -\sin x $
$ \left(\tan x\right)' = \sec^2 x $
$ \left(\cot x\right)' = - \csc^2 x $
$ \left(\sec x\right)' = \left(\frac\right)' = \sec x * \tan x $
$ \left(\csc x\right)' = \left(\frac\right)' = -\csc x * \cot x $
$ \left(\upsilon \pm \nu \right)' = \upsilon' \pm \nu' $
$ \left(c \upsilon \right)' = c \upsilon' $
$ \left(\upsilon \nu \right)' = \upsilon'\nu + \upsilon \nu' $
$ \left(\frac\right)' = \frac $
$ \left(\arcsin x\right)' = \frac} $
$ \left(\arccos x\right)' = - \frac} $
$ \left(\arctan x\right)' = \frac $
$ \left(\mathrm \; x\right)' = - \frac $
鏈式法則(chain rule)是微積分中的求導法則, 用以求乙個復合函式的導數, 其內容為: 由兩個函式巢狀而成的復合函式, 其導數等於外函式之導數，乘以裡邊函式的導數
所謂復合函式是指以乙個函式作為另乙個函式的變數, 如: 設$ f(x) = 3x $, $ g(y) = 3y + 3 $, $ g(f(x)) $ 就是乙個復合函式, $ g(f(x)) $對$ x $求導, $ g′(f(x)) = 9 $
若 $ h\left(x\right) = f\left(g\left(x\right) \right) $ , 則$ h(x) $對x求導: $ h'\left(x\right) = f'\left(g\left(x\right) \right) * g'\left(x\right) $
例計算$ e^ $的導數, 可以令$ f(x) = -x $, 則 $ (e^)' = (e^)* f'(x) = e^ * (-1) = - e^ $
計算$ f(x) = \frac)} $ 的導數. $ f'(x) = \frac) - 1*(1+e^)'})^2} = \frac})^2} $
$ y = \arctan x \\
\therefore x= \tan y, \\
\therefore \left(\arctan x \right)' = \frac\\
\\\left(\tan y\right)' = \left(\frac\right)'= \frac = \frac\\
\therefore \left(\arctan x \right)' = \cos^2 y = \frac = \frac=\frac $
泰勒級數(taylor series) 用無限項連加式級數來表示乙個函式, 這些相加的項由函式在某一點的導數求得. 通過函式在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做邁克勞林級數maclaurin series. 定義：
如果$ f(x) $在點$ x=x_ $具有任意階導數, 則冪級數
$ \sum_^ \frac(x_0)}(x-x_0)^n $
稱為$ f(x) $在點$ x_ $處的泰勒級數.
在泰勒公式中, 取$ x_0=0 $ 得到的級數
$ \sum_^ \frac(0)}(x)^n $
稱為麥克勞林級數. 函式$ f(x) $的麥克勞林級數是x的冪級數, 那麼這種展開是唯一的, 且必然與$ f(x) $的麥克勞林級數一致
對於復合函式, 可以使用換元法簡化展開計算,
$ f(g(x)) = \sum_^ \frac(x_0)}(g(x)-x_0)^n $
可以進行代換的條件是在展開點$ x_0 $當$ x \to x_0 $時, 替換變數$ g(x) \to x_0 $. 只有x和替換變數在展開點是同乙個極限才可以這麼做. 要是在其它處展開, 就得老老實實算或者令$ g_2(x) $在展開點保證同乙個極限, 然後再用換元法展開.
$ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac+...+\frac(a)(x-a)^}+r_ $
$ \begin
\begin
\left(a+x\right)^n &= a^n + na^x + \fraca^x^2 + \fraca^x^3 + ... \\
&= a^n + \binoma^x + \binoma^x^2+\binoma^x^3 + ... \\
&= \sum_^ \binom a^x^i
\end
\end $
$ \begin
\begin
\left( 1 + x \right )^ &= 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ... \\
&= \sum_^(-1)^ix^i
\end
\end $
$ e^x = 1+x+\frac+\frac+\frac+... $
$ a^x = e^= 1+x\ln a+\frac+\frac+\frac+... $
$ \ln (1+x) = x - \frac + \frac - \frac + ... -1 < x \leqslant 1 $
因為 $ \left(\arctan x \right)' =\frac=1-x^2+x^4-x^6+... $
對兩邊積分可得 $ \arctan x = x - \fracx^3 + \fracx^5-\fracx^7+... $
因為 $ \arctan 1 = \frac $ 所以$ \pi = 4*\left( 1 - \frac + \frac - \frac + ... \right) $
注: 這個計算收斂很慢
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