普通母函式：
可以用來求解一些組合數問題，例如最經典的x中砝碼可以構成重量為y方案數有多少？
普通的話窮舉所有的方案數是2^n的複雜度，指數級增長很快
但是利用母函式的話，可以轉換成乙個冪級數的乘積的形式，轉換方案見**，可以將複雜度降低到n^3，是乙個冪級數複雜度，遠低於指數級複雜度
題目如下：
/*普通母函式：將離散數列的構造簡化為冪級數
例子:現在1g 3g 5g 9g 的砝碼各有無限個，問構成13g的方案數有多少
我們知道1g的可以選擇1個，2個，3個...13個 我們用x1 x2 x3...x13代表
3g的可以選擇1個，2個，3個，4個，我們用x3 x6 x9 x12代表
5g 9g 同理
下角標代表的是重量 前面的標號就是方案數
於是我們可以列出來算式就是(x1+x2+x3+x4+..+x13)*(x3+x6+x9+x12)*(x5+x10)*(x9)=...=a*x2+b*x5=a*b*x7
之後求13的方案數就是x13的係數
為什麼稱之為母函式呢 實際上是一種思想
就是一種將離線序列轉換為冪級數的方案
*/#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
intmaxx;
intn;
int a[100
];int sug[100]; ///
儲存每個值的係數
int tmp[100]; ///
儲存臨時結果
intmain()
memset(tmp ,
0 , sizeof
(tmp));
for(int i=0; i<=maxx; i+=a[1]) ///
從0開始因為可以不選這個
for(int i=2; i<=n; i++)
}for(int j=1; j<=maxx; j++)
}for(int i=1; i<=maxx; i++)
printf(
"%d..%d..\n
" , i , sug[i]); ///
輸出組成每種重量的方案數
}
return0;
}
指數型母函式：
用來求解多重集的排列問題
指數型母函式：（用來求解多重集的排列問題）
n個元素，其中a1，a2，····，an互不相同，進行全排列，可得n!個不同的排列。
若其中某一元素ai重複了ni次，全排列出來必有重複元素，其中真正不同的排列數應為 ，即其重複度為ni!
同理a1重複了n1次，a2重複了n2次，····，ak重複了nk次，n1+n2+····+nk=n。
對於這樣的n個元素進行全排列，可得不同排列的個數實際上是
若只對其中的r個元素進行排列呢，那就用到了指數型母函式。
構造母函式g(x)=+則稱g(x)是數列a0,a1…an的指數型母函式。
一般過程：
1.建立模型：物品n種，每種數量分別為k1,k2,..kn個，求從中選出m個物品的排列方法數。
2.構造母函式：g(x)=(1+ + …+)(1+ ++…)…(1+ ++…)
=a0+a1·x+ · + · +… · （其中pp=k1+k2+k3…kn）
g(x)含義：ai為選出i個物品的排列方法數。
若題中有限定條件，只要把第i項出現的列在第i項的式中，未出現的不用列入式中。
如:物品i出現的次數為非0偶數，則原式改為…*( + + )*…
感謝：
生成函式 母函式
根據定義，這個序列作為函式的係數，稱g x 就是序列的母函式。和一般意義上的函式相比，母函式的功能是計數。有這樣一道例題 到這一章為止，已知的計數法則就兩種，加法法則 或 和乘法法則 且 前者是分類思想，後者是分步。法1 分步來看，第乙個骰子有1 5種可能，因為兩個骰子之和是6，所以一旦第乙個骰子確...
生成函式（母函式）
參考部落格 在數學中，某個序列 a n 的母函式 又稱生成函式，英語 generating function 是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。有三種物品，分別有 3 2，3個，問拿四個的方案數 f i j 表示當前第i個位置，已經選了j個物品的方案數 f 0 0 1 fo...
母函式 合集
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