母函式總結

生成函式即母函式，是

組合數學

中尤其是計數方面的乙個重要理論和工具。

生成函式

有普通型生成函式和指數型生成函式兩種，其中普通型用的比較多。

區別：形式上說，普通型

生成函式

用於解決

多重集的組合問題，而指數型母函式用於解決多重集的排列問題。

母函式還可以解決遞迴數列的通項問題（例如使用母函式解決斐波那契數列的通項公式）。

什麼樣的題型適合用母函式

母函式有普通型的，也有指數型的。而我們通常在做題當中碰到的大多是普通型的，指數型的較少，主要用來求解多重排列的題型（我至今未涉及到有關指數型的母函式，希望讀者提議，若以後碰到，我會加以補充），接下來，我重點說一下普通型母函式。

普通型的可以用在求解組合以及整數拆分的題型中。

例如，對於有n種物品，如果第i個物品有ki個，我們可以列式n個項相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn)，每一項表示對於第i件物品，可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法，【注意係數都為1，因為同種物品去i件，它的取法是1】多項相乘：因為取m件物品這件事實要分為對n種物品各取分別取1次【0~ki個】，是組合計數的乘法原理， x^m 的係數是組合成m件物品的所有方案數.（可以參考hduacm課件）

整數拆分

hdu 1028

#include"iostream"

using namespace std;

#define n 130

int a[n+1],b[n+1];

int main()

for(i=2;i<=n;i++)

for(j=0;j<=n;j++)

}cout<

hdu2028

#include"iostream"

using namespace std;

#define n 50

#define m 26

int a[m+1],b[m+1],c1[n+1],c2[n+1];

int main()

memset(c1,0,sizeof(c1));

memset(c2,0,sizeof(c2));

c1[0]=1;

for(i=0;i<26;i++)

for(j=0;j<=50;j++)

}for(i=1;i<=50;i++)

sum+=c1[i];

cout<

2，需要什麼樣的母函式來求解

可以說不同的問題，有不同的解法，對於一道可以用母函式來求解的題而言，可能還有比母函式更簡潔的方法，因人而異。不一定遇到組合型別的題型就要用組合函式，在這裡我只是要通過一些例子來說明如果我們需要用母函式來求解，那麼，該如何選定合適的母函式呢？

母函式的框架基本一樣，

如hdu2082,

for(i=0;i<26;i++)

}如hdu1028,

for(i=2;i<=n;i++)

for(j=0;j<=n;j++)

}母函式可分為很多種，包括

普通母函式、指數

母函式、

l級數、

貝爾級數

和狄利克雷級數

。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。

函式g(x)是序列a0，a1，a2，…的母函式

這裡先給出2個例子，等會再結合題目分析：第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函式來解決這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函式1+x表示，

1個2克的砝碼可以用函式1+x∧2表示，

1個3克的砝碼可以用函式1+x∧3表示，

1個4克的砝碼可以用函式1+x∧4表示，

上面這四個式子懂嗎？

我們拿1+x^2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量！即這裡就是乙個質量為2的砝碼，那麼前面的1表示什麼？按照上面的理解，1其實應該寫為：1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數量為0個。（理解！）

不知道大家理解沒，我們這裡結合前面那句話：

「把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來「

1+x^2表示了兩種情況：1表示質量為2的砝碼取0個的情況，x表示質量為2的砝碼取1個的情況。這裡說下各項係數的意義：

在x前面的係數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這裡可不能簡單的認為相應砝碼取0個就該是0*x(想下為何？結合

數學式子)。

所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：

(1+x)(1+x∧2)(1+x∧3)(1+x∧4)

= (1+x+x^2+x^3)(1+x^3+x^4+x^7)

=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10

從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2x項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1 。

接著上面，接下來是第二種情況：求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。

這裡再引出兩個概念整數拆分和拆分數：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於乙個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例，給出模板：

// author: tanky woo

// 母函式詳解

#include

using namespace std;

const int _max = 10001;

// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目

// c2是中間量，儲存每一次的情況

int c1[_max], c2[_max];

int main()

for(i=2; i<=nnum; ++i) // ----- ②

for(j=0; j<=nnum; ++j) // ---- ⑤

} cout << c1[nnum] << endl; }

return 0; }

我們來解釋下上面標誌的各個地方：(***********！！！重點！！！***********)

① 、首先對c1初始化，由第乙個表示式(1+x+x+..x)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.

② 、 i從2到n遍歷，這裡i就是指第i個表示式，上面給出的第二種母函式關係式裡，每乙個括號括起來的就是乙個表示式。

（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，這時候j應該指示的是合併後的第乙個括號的四個變數的係數。.

④ 、 k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表示式的增量是i）。

⑤ 、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從乙個表示式中開始的

母函式總結

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母函式總結

母函式及其模板例題總結

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