母函式小記

定義：

對於任意數列a0,a1,a2…an 即用如下方法與乙個函式聯絡起來：

g(x) = a0+a1x+a2x*2+a3x^3+….+anx^n

則稱g(x)是數列的生成函式(generating function)

我們知道，(1+x)^k=c(k,0)x^0+c(k,1)x^1+…+c(k,k)x^k

且當k為負數和小數時，

(1+x)^k=c(k,0)x^0+c(k,1)x^1+…+c(k,k)x^k+c(k,k+1)x^(k+1)+c(k,k+2)x^(k+2)+…

廣義的組合數c(k,i)就等於 k(k-1)(k-2)(k-i+1)/i!

高中時我們學過排列組合的乙個問題，求n=x1+x2+x3+…+xk的非負整數解，老師教我們先使等式右邊加k，問題轉化為求n+k=x1+x2+x3+…+xk的正整數解，然後使用隔板發，在n+k-1個空中加入k-1個隔板，總解法有

c（n+k-1,k-1）=c（n+k-1,n）

利用等比數列，我們還可以求得1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+…

對其兩邊求導我們可以得到1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+…

直到對其兩邊求導n次我們可以得到

1/(1-x)^n=1+c(n,1)x^1+c(n+1,2)x^2+c(n+2,3)x^3+…+c(n+k-1,k)x^k+…

我們發現x的k次方的係數為c(n+k-1,k),也就是說求n=x1+x2+x3+…+xk的非負整數解，相當於求k個(1+x+x^2+x^3+x^4+…)相乘所得x^k的係數，也就是c(n+k-1,k)，這樣就通過代數的方法解出了「n=x1+x2+x3+…+xk的非負整數解」這個排列組合的問題。

乙個經典的例題是求有1g、2g、3g、4g砝碼各乙個，求能表示的質量

利用母函式

1g能表示的質量轉化為（1+x）（因為可以表示0g或者1g）

同理2g、3g、4g分別轉化為（1+x^2）、（1+x^3）、（1+x^4）

總數量=（1+x）（1+x^2）（1+x^3）（1+x^4）=

1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+x^7+x^8+x^9+x^10

即可以表示從0到10g的任意質量（對應多少次冪），且表示這些質量的方法分別有1，1，1，2，2，2，2，1，1，1，1種（相應冪級數的係數）

先貼乙個hdu2079 自己理解的演算法，複雜度太高，隨後貼優化的

#includeusing namespace std;
typedef
structmuhanshu;
muhanshu cheng(muhanshu mhs,muhanshu temp_mhs)
}for(j=0;jfinal.num--;}}
}return
final;
}int main()
mhs=cheng(mhs,temp_mhs);
}for(i=0;iif(mhs.mi[i]==n)}}
return
0;}

這是優化過的

#include
int a[10],b[10],c1[41],c2[41];//注意c1c2存的是係數
int main()
for(i=2;i<=k;i++)
}for(j=0;j<=n;j++)
}printf("%d\n",c1[n]);
}return
0;}

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