擴充套件歐幾里德

擴充套件歐幾里德通常用於求出二元一次方程的解，類似a*x+b*y=c(a,b均不為0)的方程，a,b,c都是整數，x、y的整數解。

1 判斷是否有解

整數二元一次不定方程有解的充分必要是gcd(a,b)|c。如果不能整除則無解。

2 擴充套件歐幾里德求特解

歐幾里德給出了計算a*x+b*y=gcd(a,b)的解法。

之前寫的太複雜自己都快看不懂了，刪了重寫一遍，看了一下知乎裡的證明，鏈結感覺很簡潔，斗膽拿來用一下。

對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得

a*x+b*y = gcd(a , b); ①

根據歐幾里德原理

gcd(a , b) = gcd(b , a mod b)

將gcd(b,a mod b)表達為①式的形式，即

a*x+b*y = gcd(a , b)

= gcd(b , a mod b)

= b * x1 + (a mod b) * y1

= b * x1 + (a - a / b * b) * y1 即

a*x+b*y = b * x1 + (a - a / b * b) * y1

化簡上式，得

a*x+b*y = a*y1 - b*a/b*y1 + b*x1 ， 即

a* x +b* y

=a* y1 +b* (x1-a/b*y1)

所以x=y1

y=x1 - a/b*y1

於是我們得到了這樣一段**

1

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x ,int &y)210
intx1,y1;
11     exgcd( b , a %b , d , x1 , y1 );
12     x =y1;
13     y = x1 - ( a / b ) *y1;
14return
;15 }

再簡化一下可以得到

1

//ax+by=gcd(a,b),d為最後求出的gcd(a,b)
2void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &d)
9     ex_gcd(b,a%b,y,x,d);
10     y=y-a/b*x;
11 }

上面**中，通過交換x,y的位置，原本y1的位置變成x，x1的位置變成y相當於執行了x=y1，y=x1，因為y = x1 - ( a / b ) * y1，所以還需要y-=a/b*x。

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