母函式問題

在數學中，某個序列的母函式(generating function，又稱生成函式)是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。

先看兩個例子：

第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函式來解決這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函式1+1*x^1表示，

1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示，

1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示，

1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示，

這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝碼有兩種狀態，不取或取，不取則為1*x^0，取則為1*x^2

這裡的係數表示狀態數(方案數),而指數則相當於這個東西的權重（即價值）。

1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面說的不取2克砝碼，此時有1種狀態；或者取2克砝碼，此時也有1種狀態。

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。

第二種：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。

故g(x)=(1+x^1+x^2+....)(1+x^2+x^4+....)....(1+x^n+x^2n+....)....

這裡是乙個整數劃分方案個數的模板，計算的方法是模擬手算，從前向後乙個接乙個的括號計算：

#includeusing namespace std; 

int c1[10001], c2[10001], n;          //n是要被劃分的整數，c1是用來存放展開式的各項係數，c2用來計算時臨時儲存的
int main()
for (int i = 2; i <= n; i++)          //計算從第二個括號表示式開始
for (int i = 0; i <= n; i++)          //更新一下資料，開始下乙個括號表示式的計算
}cout << c1[n] << endl;           //輸出指數為n的項的係數是多少，則有多少種劃分
}	return 0;
}

題目：

#include#includeusing namespace std; 

int num1, num2, num3;
int vis[10000];
int main()
}		for (int i = 0; i <= num3 * 5; i += 5)        //計算第三個
}int i;
for (i = 1; i <= num1 + num2 * 2 + num3 * 5; i++)
}printf("%d\n", i);
}	return 0;
}

母函式問題

母函式可分為很多種，包括普通母函式 指數母函式 l級數 貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。我們首先來看下這個多項式乘法 由此可以看出 1.x的係數是a1,a 2,a n...

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ACM 母函式問題模板

include using namespace std const int lmax 10000 int c1 lmax 1 c2 lmax 1 c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目 c2是中間量，儲存每一次的情況 int main 初始化 for i 0 i n i c1 i 1 首先對c1，第乙...