上下界網路流本質上是給流量網路的每一條便設定了流量上界\(c(u,v)\)和下界\(b(u,v)\)
無源匯上下界可行流
給定無源匯流量網路\(g\) 。詢問是否存在一種標定每條邊流量的方式，使得每條邊流量滿足上下界同時每乙個點流量平衡。
不妨假設每條邊已經流了\(b(u,v)\)的流量，設其為初始流。同時我們在新圖中加入\(u\)連向\(v\)的流量為\(c(u,v) - b(u,v)\)的邊。考慮在新圖上進行調整至滿足流量平衡關係。
考慮設初始流入流量減初始流出流量為\(m\):
若\(m > 0\)，此時入流量過量，其向 \(t'\) 連流量為\(|m|\)的附加邊。
若\(m < 0\),此時出流量過少，\(s'\) 向其連流量為\(|m|\)的附加邊。
然後跑\(s' \to t'\)的最大流，若\(s'\)的出邊均滿流，則存在可行流。
有源匯上下界可行流
把\(t\)到\(s\)設一條\([0,\infty]\)的邊即可轉為無源匯的上下界可行流問題。
有源匯上下界最大流
給定有源匯流量網路\(g\)。詢問是否存在一種標定每條邊流量的方式，使得每條邊流量滿足上下界同時除了源點和匯點每乙個點流量平衡。如果存在，詢問滿足標定的最大流量。
我們找到網路上的任意乙個可行流。如果找不到解就可以直接結束。
否則我們考慮刪去所有附加邊之後的殘量網路並且在網路上進行調整。
我們在殘量網路上再跑一次 \(s\)到\(t\)的最大流，將可行流流量和最大流流量相加即為答案。
有源匯上下界最小流
改為跑\(t\)到\(s\)的最大流退流即可。
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