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此類問題可以分為三小類問題：
一、無源匯有上下界最大流
二、有源匯有上下界最大流
三、有源匯有上下界最小流
1、無源匯有上下界最大流
題目大意：給n個點，及m根pipe，每根pipe用來流躺液體的，單向的，每時每刻每根pipe流進來的物質要等於流出去的物質，要使得m條pipe組成乙個迴圈體，裡面流躺物質。並且滿足每根pipe一定的流量限制，範圍為[li,ri].即要滿足每時刻流進來的不能超過ri(最大流問題)，同時最小不能低於li。
解題思路：o（-1）。
建圖模型： 以前寫的最大流預設的下界為0，而這裡的下界卻不為0，所以我們要進行再構造讓每條邊的下界為0，這樣做是為了方便處理。對於每根管子有乙個上界容量up和乙個下界容量low，我們讓這根管子的容量下界變為0，上界為up-low。可是這樣做了的話流量就不守恆了，為了再次滿足流量守恆，即每個節點"入流=出流」，我們增設乙個超級源點st和乙個超級終點sd。我們開設乙個陣列du來記錄每個節點的流量情況。
du[i]=in[i]（i節點所有入流下界之和）-out[i]（i節點所有出流下界之和）。
當du[i]大於0的時候，st到i連一條流量為du[i]的邊。
當du[i]小於0的時候，i到sd連一條流量為-du[i]的邊。
最後對（st，sd）求一次最大流即可，當所有附加邊全部滿流時（即maxflow==所有du>0之和），有可行解。
2、有源匯有上下界的最大流
題目大意：乙個屌絲給m個女神拍照，計畫拍照n天，每一天屌絲最多個c個女神拍照，每天拍照數不能超過d張，而且給每個女神i拍照有數量限制[li，ri]，對於每個女神n天的拍照總和不能超過gi，如果有解求屌絲最多能拍多少張照，並求每天給對應女神拍多少張照；否則輸出-1。
解題思路：增設一源點st，匯點sd，st到第i天連一條上界為di下界為0的邊，每個女神到匯點連一條下界為gi上界為oo的邊，對於每一天，當天到第i個女孩連一條[li，ri]的邊。
建圖模型：源點s，終點d。超級源點ss，超級終點dd。首先判斷是否存在滿足所有邊上下界的可行流，方法可以轉化成無源匯有上下界的可行流問題。怎麼轉換呢？
增設一條從d到s沒有下界容量為無窮的邊，那麼原圖就變成了乙個無源匯的迴圈流圖。接下來的事情一樣，超級源點ss連i（du[i]>0），i連超級匯點（du[i]<0）,
對（ss，dd）進行一次最大流，當maxflow等於所有(du>0)之和時，有可行流，否則沒有。
當有可行流時，刪除超級源點ss和超級終點dd，再對（s，d）進行一次最大流，此時得到的maxflow則為題目的解。為什麼呢？因為第一次maxflow（）只是求得所有滿足下界的流量，而殘留網路（s，d）路上還有許多自由流（沒有和超級源點和超級匯點連線的邊）沒有流滿，所有最終得到的maxflow=（第一次流滿下界的流+第二次能流通的自由流）。
3、有源匯有上下界的最小流
題目大意：有乙個類似於工業加工生產的機器，起點為1終點為n，中間生產環節有貨物加工數量限制，輸出u v z c， 當c等於1時表示這個加工的環節必須對紐帶上的貨物全部加工（即上下界都為z），c等於0表示加工沒有上界限制，下界為0，求節點1（起點）最少需要投放多少貨物才能傳送帶正常工作。
解題思路：
1、du[i]表示i節點的入流之和與出流之和的差。
2、增設超級源點st和超級匯點sd，連（st，du[i]（為正）），（-du[i]（為負），sd）。 ///增設超級源點和超級匯點，因為網路中規定不能有弧指向st，也不能有流量流出sd
3、做一次maxflow（）。
4、源點（sd）和起點（st）連一條容量為oo的邊。
5、再做一次maxflow（）。
6、當且僅當所有附加弧滿載時有可行流，最後答案為flow[（sd->st）^1]，st到sd最大流就是sd到st最小流。
建圖模型：同樣轉換成先求無源匯有上下界的可行流，先新增一條d到s容量為無窮的邊，這裡求最小流很容易讓人產生歧路，為什麼呢？當所有邊滿足下界條件並且能量守恆時，這時候求得的最大流不就是最小流麼。這樣是錯誤了，我開始了在這揣測了良久。
下面來看個例子：
這樣求得的最小流為200，而實際的可行最小流解只需100。
問題出在原圖中存在環（迴圈流），而我們沒有利用，導致流增大了。
解決方法：先不增加d->s容量為無窮的邊，進行一次maxflow（），如果還沒有滿流，則加一條（d，s）容量為無窮的邊，再進行一次maxflow（），當且僅當所有附加弧滿載時，有可行解，解為flow[（d->s）^1]（即d到s的後悔邊權值）。
有上下界網路流
前言 下面寫得只是一些十分基礎的東西，是給我以後自己看的，想要徹底弄明白這個內容，推薦去看liu runda。注 為了方便，下面所有的 x,y,l,r 都表示一條從x連向y，流量下界為l，流量上界為r的邊。問題簡述 給出乙個有向圖，每條邊有流量上下界，沒有源點和匯點，要求找到一種流的方法，使得每個點...
有上下界的網路流問題
前幾天就想寫了的，一直沒寫，今天就寫完吧。因為在做這些上下界的題的時候，遇到了很多問題，在大神的幫助下還是一一解決了的。英文沒學好誒喂，在sgu和poj各種wa。主要是沒看題，求上下界已經理解了的。做法 將圖的下界分離到乙個附加源和匯中，而上界則變為原弧的上界減去下界的差，構成乙個附加網路，再在附加...
有上下界的網路流
有上下界的網路流 這幾天看了周源的 一種簡易的方法求解流量有上下界的網路中網路流問題 並完成了 sgu 194 zoj 2314 reactor cooling，sgu 176 flow construction 和hoj 2135 poj 2396 budget三道題。作為周源文章中提到的求解上下...