前言
不錯的文章：
無源匯上下界可行流：
模型：乙個網路，求出乙個流，使得每條邊的流量必須≥
l\ge l
≥l且≤
r\le r
≤r，每個點必須滿足總流入量 = 總流出量 (流量守恆) (這個流的特點是迴圈往復,無始無終)
考慮到如果存在乙個可行流，那麼每條邊的流量至少是 l
ll，於是我們可以預先讓它先流 lll
這樣以後乙個點流入量可能就不為流出量了
我們考慮求出乙個附加流，每條邊的最終流量為附加流流量加上 lll
具體而言，我們建邊建成 (u,
v,r−
l)
(u,v,r-l)
(u,v,r
−l)
考慮到最後要讓流量平衡，分類討論：
如果乙個點的初始流入 = 流出那麼它平衡了
如果初始流入 > 流出，那麼這個點在附加流中流入 < 流出，稱為 a
aa 類點
如果初始流入 < 流出，那麼附加流流入 > 流出，稱為 b
bb 類點
記差量為 ∣δ∣
|\delta|
∣δ∣
為了使流量平衡，我們建立超級源匯 s,t
s,ts,
t，ss
s 向 a
aa 類點連邊，流量為 ∣δ∣
|\delta|
∣δ∣b
bb 類點向 t
tt 連邊，流量為 ∣δ∣
|\delta|
∣δ∣
容易發現，與源點匯點s,t
s,ts,
t向連的邊邊權和是相等的
有解當且僅當把不平衡的流量填平，也就是 s,t
s,ts,
t 的所有出邊入邊滿流
跑乙個 s
ss 到 t
tt 的最大流即可
有源匯上下界可行流
源點和匯點的流量始終不會平衡
考慮到源點出去的流量 = 匯點進的流量，匯點向源點連流量 +
∞+\infty
+∞的邊就可以平衡
整個可行流的流量就是匯點到源點那條邊的流量
有源匯有上下界最大流
在滿足可行即流量平衡的條件下流量最大
建圖如上，我們發現殘餘網路中有些邊是沒有跑滿的
把與超級源匯的邊斷開，然後在殘餘網路上跑乙個原圖 s,t
s,ts,
t 的最大流
最終的最大流需要加上原本的可行流
最小流可以倒過來跑，t
tt 到 sss
無源匯上下界最小費用可行流
同樣建立超級源匯 s,t
s,ts,
t 對於邊 (u,
v,l,
r,co
st
)(u,v,l,r,cost)
(u,v,l
,r,c
ost)
，建邊 (u,
v,r−
l,co
st
)(u,v,r-l,cost)
(u,v,r
−l,c
ost)
，並將初始值加上 l∗c
os
tl*cost
l∗cost
對於那些流量不平衡的點，建邊同 「 無源匯上下界可行流 」，費用為 0
然後跑 s
ss 到 t
tt 的最小費用最大流
有源匯加一條原圖中 (t,
s,∞,
0)
(t,s,\infty,0)
(t,s,∞
,0)
上下界費用流
codeforces 708d incorrect flow 這是道可行流最小費用的題目，這題好神奇。看這老哥的題解就ok了。戳這 我覺得他少說了一條邊，但 中卻體現了，就是一條流量為 f,f 的邊，費用為0，就是固定流量的一條邊。還要注意一點是，f c 的時候，f 往下調到 c 以下時，c 是不動...
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