乘法逆元數論篇

乘法逆元數論篇【易懂教學】

乘法逆元較多用於求解除法取模問題

例如：(a/b)%m時，可以將其轉換為(a%(b×m))/b，但這樣求解的過程依然涉及到除法，所以我們應當避免除法的直接計算。這時候就需要用到我們要講的乘法逆元。

可以使用逆元將除法轉換為乘法：假設b存在乘法逆元，即與m互質（充要條件）。

設c是b的逆元，即 b×c≡1(mod m)

那麼有 a/b=(a/b)×1=(a/b)×b×c=a×c(mod m)

即除以乙個數取模等於乘以這個數的逆元取模

如果兩個正整數a和b之差能被n整除，那麼我們就說a和b對模n同餘，記作：a≡b (mod n)。

a≡b(mod n)等價於a與b分別用n去除，餘數相同。

擴充套件歐幾里得演算法

要求a,n互為素數，存在唯一解

int extgcd(int a, int b, int& x, int& y)

else
return d;
}int mod_inverse(int a, int n)
///mod_inverse為對n取模a的逆元

在n為素數的情況下，對任意的a都有a^n≡a(mod n)

如果a無法被n整除，則有a^(n-1)≡1(mod n)

可以在n為素數的情況下求出乙個數的逆元，a×a^(n-2)≡1(mod n)，這時候，a^(n-2)為a的逆元。

///這裡用到了整數快速冪

ll mult(ll a,ll n)  //求a^n%mod
return s;
} //mult(a,n-2);

簡單介紹一下尤拉函式：在數論，對正整數n，尤拉函式是小於n的正整數中與n互質的數的數目（φ(1)=1）。

如果對尤拉函式有興趣的可以看看：尤拉函式

令φ(n)表示小於等於n且與n互素的正整數的個數。

如果a和n互質，則有a^φ(n)≡1(mod n)，即 a×a^(φ(n)−1)≡1(mod n)，那麼a^(φ(n)−1)為a的逆元。

在n為質數的時候φ(n) = n - 1。

///尤拉函式

int euler(int n)
}if(n != 1) res = res / n * (n - 1);
return res;
} ///求對mod = n,a的逆元
ll mult(ll a,ll n) 
return s;
} //mult(a, euler(n)-1);

int euler[maxn];

void euler()}}
}

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