模運算：取餘運算，即a除以b得到的餘數，記為mod，又記為%
模運算過程中，加減乘都可以先對a,b進行%p，然後再進行加減乘，最後再%p，結果不變
運算子優先順序，模運算和乘除法的運算子優先順序是一樣的
同餘：a和b除以p得到的餘數相同，即p可以整除(a-b)
求解\(\cfrac \mod p\)的值，因為除法不能直接對a,b先取模再進相除，所以這邊就引入了逆元逆元，可以理解為是在mod p意義下b的倒數，下文中將b的逆元記錄為inv[b]
以下是逆元的定義
\(b \times inv[b] \equiv 1 \pmod p\)
1.第乙個性質
\(\cfrac \equiv a \times inv[b] \pmod p\)
證明如下
\(b \times inv[b] \equiv 1 \pmod p\)
\((b \times inv[b]-1)\bmod p=0\)
由模運算的乘法性質\(a \times b \bmod p=(a \bmod p) \times (b \bmod p)\bmod p\)
得到\(\cfrac\times(b \times inv[b]-1)\bmod p=0\)
\((a \times inv[b]- \cfrac)\bmod p=0\)
\(a \times inv[b] \equiv \cfrac \pmod p\)
2.唯一性
設b有兩個逆元c,d
則\(a*c \equiv a*d \pmod p\)
\((a*c-a*d)\pmod p=0\)
\(a(c-d) \mod p=0\)
\(a\% p \neq 0\)
由模運算的乘性質得到\(c=d\)
所以b的逆元唯一
3.可積性
\(inv[a] \times inv[b]=inv[a \times b]\)
證明\(a*b * inv[ab]\equiv \pmod p\)
又因為\(a*inv[a]\equiv 1\)
\(b*inv[b]\equiv 1\)
模運算乘性質易證可積性成立
4.週期性
求解\(\cfrac \mod p\)中b的逆元
一般預設b小於p，但是當b大於p的時候來求逆元，其實就是乙個週期性
即\(inv[k*p+r]=inv[r],0
證明因為同餘，滿足兩邊同乘以乙個數依舊成立
所以有以下
設\(\cfrac \equiv k_1 \pmod p\)
\(\cfrac \equiv k_2 \pmod p\)
則對於第二個式子，兩邊同時乘以\(tp+r\)有
\(n \equiv k_2r \pmod p\)
\(\cfrac \equiv k_2 \pmod p\)
同理\(\cfrac \equiv k_1 \pmod p\)
即\(k_1 \equiv k_2 \pmod p\)
設\(b=r,c=t*p+r\)，則有
\(\cfrac \equiv \cfrac \pmod p\)
\(n*inv[b] \equiv n*inv[c] \pmod p\)
\(inv[b] \equiv inv[c] \pmod p\)
又因為\(0\le inv[b],inv[c]
所以\(inv[b]=inv[c]\)
費馬小定理和拓展歐幾里得這邊就不講了
這邊主要講線性求逆元
一下模的結果範圍為[0,r-1]
\(p=k*i+r\)
\(k*i+r \equiv 0 \pmod p\)
模運算乘性質有
式子兩邊同時乘以\(inv[i]*inv[r]\)有
\(k*inv[r]+inv[i] \equiv 0 \pmod p\)
\(inv[i] \equiv k*inv[r] \pmod p\)
\(inv[i] \equiv -\cfrac*inv[p \% i] \pmod p\)
其中p%i在[0,i-1]範圍內，即求i的時候p%i的逆元已經被求出
1.線性求逆元
原題見，洛谷p3811乘法逆元模版題
#includeusing namespace std;
typedef long long ll;
const int mx=20000999;
ll inv[mx];
void getinv(ll n,ll p)
}int main()
}
#includeusing namespace std;
typedef long long ll;
const int mx=20000999;
ll inv[mx];
ll getinv(int x,int p)
int main()
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