在實際中我們主要關心的是：
研究物件的某一（或某幾項）數量的指標 \(x=x(\omega)\)，它是乙個隨機變數。
總體：隨機變數（數量指標） \(x\) 的全體取值構成的集合。
總體的分布：隨機變數 \(x\) 的分布。
從乙個總體 \(x\) 中，隨機抽取 \(n\) 個個體（有放回的重複抽樣）：
\(x_1, x_2,...,x_n\) 是一次抽樣觀察（記錄）的結果，稱 \(x_1, x_2,...,x_n\) 為總體 \(x\) 的一組樣本觀察值，簡稱樣本值。
由於抽樣的隨機性，每次抽樣結果是變化的。引入隨機變數 \(x_1, x_2, ...,x_n\)，每次抽樣結果看成是隨機變數的取值。
稱 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 為來自於總體 \(x\) 的樣本容量為 \(n\) 的樣本，\(x_1, x_2,...,x_n\) 是樣本 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 的一組觀察值，稱為樣本值。
總體就是乙個隨機變數 \(x\)
樣本就是 \(n\) 個相互獨立的 \(x\) 同分布的隨機變數 \(x_1,x_2,...,x_n\)
按機會均等的原則，從總體中選取一些個體進行實驗或觀察的過程，稱為隨機抽樣。
獲得簡單隨機樣本的方法是簡單隨機抽樣。
若總體 \(x\) 具有分布函式 \(f(x)\)，設 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 為來自於總體 \(x\) 的樣本，則 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 相互獨立，且 \(x_i\) 的分布函式：
\[f_(x_i)=p\=p\=f(x_i)
\]\((x_1,x_2,...,x_n)\) 的分布函式稱為樣本分佈，即
\[f(x_1,x_2,...,x_n)=\prod\limits^n_f(x_i)
\]定義
設 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 為總體 \(x\) 的乙個樣本， \(g(x_1,x_2,...,x_n)\) 為乙個不含總體未知引數的連續函式，則稱 \(g(x_1,x_2,...,x_n)\) 為樣本的乙個統計量。
設 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 為來自於總體 \(x\) 的乙個樣本，稱
樣本矩都是隨機變數。
如果 \(x_1, x_2,...,x_n\) 是樣本 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 的一組觀察值，則：
\[\begin
&\overline=\dfrac\sum\limits^n_x_i&&s^2=\dfrac\sum\limits^n_(x_i-\overline)^2\\
&a_k=\dfrac\sum\limits^n_x_i^k&&b_k=\dfrac\sum\limits^n_(x_i-\overline)^k
\end
\]分別是 \(\overline,s^2,a_k,b_k\) 的觀察值。
設 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 為來自於總體 \(x\) 的乙個樣本，\(x_1, x_2,...,x_n\) （可以有相等的）是樣本觀察值，將觀察值按大小次序排列，得到：
\[x_1^*\leq x_2^*\leq...\leq x_n^*
\]規定 \(x_i^*\) 的取值為 \(x_i^*\)，得到 \(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*\) 稱為 \(x_1,x_2,...,x_n\) 的一組順序統計量。
\(x_1^*\) 樣本極大值，\(x_n^*\) 樣本極小值
記函式：
\[f_n(x)=\left\
&0&&,x
\(f_n(x)\) 是一單調不減，右連續函式，且滿足 \(f_n(-\infty)=0\) 和 \(f_n(+\infty)=1\)，由此可見，\(f_n(x)\) 是乙個分布函式，稱它為總體 \(x\) 的經驗分布函式。
\(f_n(x)\) 可作為 \(x\) 的未知分布函式 \(f(x)\) 的乙個近似，\(n\) 越大，近似程度越好。
設總體 \(x\sim n(\mu,\sigma^2)\)，\(x_1, x_2, ...,x_n\) 是來自於 \(x\) 的乙個樣本，則樣本的線性函式：
\[y=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n+b\\
y\sim n(ey,dy)\\
ey=\mu\sum\limits^n_a_i+b\\
dy=\sigma^2\sum\limits^n_a_i^2
\]特別地，當 \(a_i=\dfrac,b=0\) 時，\(y=\overline=\dfrac\sum\limits_^nx_i\)
\[\overline\sim n(\mu,\dfrac)
\]均值與總體均值相等，方差等於總體方差的 \(\dfrac\)，\(n\) 越大，越向總體均值 \(\mu\) 集中。
常用結論：
\[\overline\sim n(\mu,\dfrac)\\
\cfrac-\mu}}}\sim n(0,1)\\
\dfrac\sim n(0,1)
\]定義
設 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 相互獨立且都服從標準正態分佈 \(n(0,1)\)，則 \(\chi^2=\sum\limits^n_x_i^2\)。
稱 \(\chi^2\) 服從自由度為\(n\) 的 \(\chi^2\) 分布，記為 \(\chi^2\sim\chi^2(n)\)
\(\chi^2\) 的（下側） \(\alpha\) 分位點：
對於給定的正數 \(\alpha\space(0<\alpha<1)\) ，使滿足\(p\=a\) 的點 \(\chi^2_\alpha(n)\) 稱為 \(\chi^2\) 分布的（下側）\(\alpha\) 分位點。
性質定理1:
若 \(x\sim\chi^2(n)\)，則 \(ex=n,dx=2n\)。
定理2:
若 \(x_1\sim\chi^2(n_1),\quad x_2\sim\chi^2(n_2)\)，且 \(x_1\) 與 \(x_2\) 相互獨立，則 \(x_1 + x_2\sim \chi^2(n_1+n_2)\)
定理3:
設 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 相互獨立，且都服從 \(n\sim(\mu,\sigma^2)\)，則：
\(\overline\) 與 \(s^2\) 相互獨立
\(\dfracs^2\sim \chi^2(n-1)\quad =\dfrac\sum\limits^n_(x_i-\overline)^2\)
其中 \(\overline=\dfrac\sum\limits^b_x_i,\quad s^2=\dfrac\sum\limits_^n(x_i-\overline)^2\)
定義設 \(u\sim n(0,1),\quad v\sim \chi^2(n)\)，且 \(u\) 與 \(v\) 相互獨立，隨機變數 \(t=\dfrac}\) ，稱 \(t\) 服從自由度為 \(n\) 的 \(t\) 分布，記作\(t\sim t(n)\)
\(t\) 分布的密度函式為偶函式。
\(t\) 分布的（下側）\(\alpha\) 分位點：
對於給定的正數 \(\alpha\space(0<\alpha<1)\)，使滿足 \(p\\) 的點 \(t_\alpha(n)\) 為 \(t\) 分布的（下側）\(\alpha\) 分位點。
\(t\) 分布的（雙側）\(\alpha\) 分位點：
\[p\}\}=\alpha
\]定理4:
設 \(x_1, x_2, ...,x_n\) 相互獨立，且都服從 \(n(\mu,\sigma^2)\)，則
\[\cfrac-\mu}}}=\dfrac-\mu)\sqrt}\sim t(n-1)
\]定理5:
設 \(x_1, x_2, ...,x_m\) 和 \(y_1,y_2,...,y_n\) 分別是從正態分佈總體 \(n(\mu_1,\sigma^2)\) 和 \(n(\mu_2,\sigma^2)\) 中所抽取的獨立樣本，則
\[t=\dfrac-\overline)-(\mu_1-\mu_2)}}\cdot \sqrt}\sim t(m+n-2)
\]設 \(x\sim \chi^2(n_1),y\sim \chi^2(n_2)\)，且 \(x\) 與 \(y\) 相互獨立，隨機變數 \(f=\dfrac\)
稱 \(f\) 服從自由度為 \((n_1,n_2)\) 的 \(f\) 分布，記作 \(f\sim f(n_1,n_2)\)
\(f\) 的（下側）\(\alpha\) 分位點：
對於給定的正數 \(\alpha\space(0<\alpha<1)\)，使滿足 \(p\\) 的點 \(f_\alpha(n)\) 為 \(f\) 分布的（下側）\(\alpha\) 分位點。
\[f_(n_1,n_2)=\dfrac
\]
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