概率統計為什麼條件概率的結果總和直覺不同？

從前有一戶夫妻，他們生了兩個孩子。已知其中乙個是女孩，那麼另乙個孩子也是女孩的概率是多少呢？

這是一道概率論課本上的經典問題，一開始的時候，很多人會覺得兩個孩子的性別是獨立事件，我們知道其中乙個孩子的性別，應該對另乙個孩子沒有影響。但實際上並不是這樣，我們可以列出兩個孩子性別的所有可能：

從上面這個**裡，我們可以看出來，兩個孩子的性別組合一共有4種。其中至少有乙個女孩的是三種，而這三種當中，兩個孩子都是女孩的有一種。所以答案就是1/3。

除了**列舉出所有情況之外，我們還可以通過條件概率來計算。

我們直接套用條件概率的公式：假設a事件代表兩個孩子中有乙個是女孩，b事件是兩個孩子都為女孩。顯然，我們要求的就是p(b|a)。

根據公式：

在這題當中a事件發生，b一定發生，所以p(ab) = p(a).

我們知道，兩個孩子的性別是獨立事件，其中有乙個為女孩的概率等於1減去兩個都是男孩的概率，兩個都是男孩的概率等於

所以至少有乙個女孩的概率等於3/4。同理，兩個都為女孩的概率是1/4。

所以，我們套入公式

所以另乙個孩子也是女孩的概率是1/3。

這個答案的計算過程沒什麼問題，我想大家應該都能看明白，但是不知道會有多少人覺得奇怪。為什麼答案不是 1/2 呢？難道兩個孩子的性別不是獨立的嗎？乙個孩子是女孩和另乙個孩子是男是女應該沒有聯絡呀？

在我們回答這個問題之前，我們先來看另乙個問題。

還是之前題目裡的夫妻，還是那兩個孩子（至少有乙個是女孩）。不同的是，假設有一天我們在公園碰見了這一對夫妻。不過，與此同時，夫妻還帶了乙個孩子。這個孩子是乙個女孩，那麼，請問，另乙個孩子也是女孩的概率是多大？

答案是 1/3 呢還是 1/2 呢？

這一次答案是1/2。等等，好像有點不太對勁。我們之前一通分析，用上各種公式進行計算，得到的結果明明是1/3，為什麼這裡就變成 1/2 了呢？這兩道題難道不是一樣的嗎？

我們看到了乙個女孩，求另乙個也是女孩，和已知乙個是女孩，求兩個都是女孩，不是一回事嗎？

關於這一點，我們直觀上有很多種理解方式。

第一種，一開始題目中已知有乙個孩子是女孩。這個約束是針對兩個孩子的，當我們看到女孩的時候，兩個孩子當中有乙個是女孩的條件被達成了。那麼對於另乙個孩子而言，它就從條件概率的約束當中恢復了過來，它從條件概率又變成了自然概率，那麼自然，剩下乙個孩子是女孩的概率成了 1/2 。

我們遇見乙個女孩的概率是:

我們遇見乙個女孩的條件下，兩個都是女孩的概率是

這裡潛在的資訊是，我們在公園遇見乙個孩子，他是男是女的概率是不同的。我們遇見了女孩，會改變剩下乙個孩子是女孩的概率。也就是說，遇見了女孩這個資訊，提公升了兩個孩子都是女孩的概率，降低了另乙個孩子是男孩的概率。兩者一增一減，最後剛好都等於1/2。

這樣理解都行得通，但還是沒有解決我們之前的疑惑，為什麼看起來完全一樣的兩件事，得到的結果不同呢？就因為我們看到了其中的乙個孩子嗎？可是我們看到孩子，與孩子的性別的概率應該無關才對。

會有這些疑問並不奇怪，原因也很簡單，因為我們忽略了一點：我們在公園碰見了乙個孩子的時候，帶來了額外的資訊。也就是說，兩個孩子當中，碰見乙個孩子是女孩，和兩個孩子當中有乙個是女孩，這是兩件事。因為碰見了乙個孩子帶來了額外的資訊，雖然這個孩子是女孩，貌似和我們條件概率裡的條件一樣。

在這個問題當中，這個隱藏資訊是我們對孩子的區分。我們看孩子之前，兩個孩子是一體的，我們看了一眼之後，這兩個孩子就區分開來了。我們看之前，這是兩個孩子，看了之後，就成了我們看過的孩子和沒看過的孩子。從物理學上來看，這兩者的熵是不同的。

如果你還在糾結」觀察「這個動作，我們不妨假設另一種情況：假設這對夫妻並沒有帶孩子來公園，我們沒有見到孩子。我們和夫妻攀談，他們告訴我們，年長的孩子是女孩。請問剩下乙個是女孩的概率是多少？1/2。如果他說喜歡吃糖的是女孩，剩下乙個孩子是女孩的概率是多少？1/2。

不論這對夫妻怎麼表述，只要他告訴我們乙個資訊，乙個能夠將這兩個孩子區分開的資訊，那麼，另乙個孩子是男是女都會從條件概率的束縛下脫離出來，恢復自然概率。

我們忽略了這個資訊來看問題，就會覺得概率時大時小，變幻莫測。這也是很多人覺得概率論非常神奇違反直覺的原因。

這個時候我們需要冷靜，先從疑問當中抽身，仔細審視一下自己的推理的過程。很多時候，疑惑當中都是因為有一些潛在的因素被我們忽略了。只要我們梳理清楚所有的變數和資訊，那麼疑團也就迎刃而解。

大家結合上文的問題，再來思索這段話，是否有體會到幾分真意呢？

概率統計 為什麼條件概率的結果總和直覺不同？