設試驗 \(e\) 的樣本空間為 \(s=\\)，而 \(x=x(e),y=y(e)\) 是定義在 \(s\) 上的兩個隨機變數。稱由這兩個隨機變數組成的向量 \((x,y)\) 為二維隨機變數或二維隨機向量。
設 \((x,y)\) 為二維隨機變數，對任意實數 \(x,y\)，二元函式 \(f(x,y)=p\\) 稱為二維隨機變數的分布函式，或稱為隨機變數 \(x\) 與 \(y\) 的聯合分布函式。
分布函式 \(f(x,y)\) 的性質
(1) 定義域：\(-\infty
(2) \(f(x,y)\) 對 \(x\) 或 \(y\) 單調不減
(3) \(f(x,y)\) 對 \(x\) 或 \(y\) 右連續
(4) 對任意實數 \(x_1有
\[\begin
0&\leq p\\)，而 \(x_i=x_i(e)\) 是定義在 \(s\) 上的隨機變數，\(i=1,2,...,n\) 由這 \(n\) 個隨機變數構成的有序隨機變數組 \((x_1,x_2,...,x_n)\) 稱為 \(n\) 維隨機變數或隨機向量。
設 \((x_1,x_2,...,x_n)\) 為 \(n\) 維隨機變數，對任意實數 \(x_1,x_2,...,x_n\)，\(n\) 元函式 \(f(x_1,x_2,...,x_n)=p\\) 稱為 \(n\) 維隨機變數 \((x_1,x_2,...,x_n)\) 的分布函式或n個隨機變數 \(x_1,x_2,...,x_n\) 的聯合分布函式。
若二維隨機變數 \((x,y)\) 的取值為有限對或可列對\((x_i,y_j),i,j=1,2,...\)，則稱 \((x,y)\) 是離散型隨機變數。
記 \(p\=p_, i,j=1,2,...\)
稱為二維離散型隨機變數 \((x,y)\) 的（概率）分布律，或稱為 \(x\) 和 \(y\) 的聯合（概率）分布律。
分布律的表示法：（1）公式法；（2）列表法
\(p_=p\\geq 0,i,j=1,2,...\)
\(\sum\limits_p_=1\)
設 \((x,y)\) 的分布律為
\(p\=p_, i,j=1,2,...\)
則隨機點 \((x,y)\) 落在平面上任一區域 \(d\) 的概率
\[p\=\sum\limits_p_
\]其中和式是對所有使 \((x_i,y_i)\in d\) 的 \(i,j\) 求和。
設二維隨機變數 \((x,y)\) 的分布函式為 \(f(x,y)\),若有非負可積函式 \(f(x,y)\),使得對任意實數 \(x,y\), 恒有
\[f(x,y)=\int_^\int_^xf(u,v)\,dudv
\]則稱 \((x,y)\) 是二維連續型隨機變數，函式 \(f(x,y)\) 稱為二維連續型隨機變數 \((x,y)\) 的概率密度，或稱為隨機變數 \(x\) 和 \(y\) 的聯合概率密度。
\(x,y\) 的概率密度 \(f(x,y)\) 具有下列基本性質：
\[f(x,y)\geq 0\qquad -\infty
\[\int^_\int^_f(x,y)\,dxdy=f(+\infty,+\infty)=1
\]
反之, 若二元函式$f(x,y)$滿足上面兩條基本性質，則它一定是某個二維隨機變數$(x,y)$的概率密度\[\dfrac(x,y)=f(x,y)
\]定理：設 \((x,y)\) 的概率密度為 \(f(x,y)\) 則有：
設 \(d\) 為平面上的任一區域，則：
\[p\=\iint\limits_f(x,y)\,dxdy
\]\[f(x,y)=\iint\limits_f(u,v)\,dudv
\]\[p\
&\dfrac,&&(x,y)\in d\\
&0,&&其它
\end
\right.
\]其中 \(a\) 為有界區域 \(d\) 的面積。則稱 \((x,y)\) 在區域 \(d\) 上服從均勻分布，記為 \((x,y)\sim u(d)\)
二維正態分佈
若隨機變數 \((x,y)\) 概率密度為
\[f(x,y)=\dfrac}\cdot\exp\big\\big[\big(\dfrac\big)^2-2\rho\dfrac\dfrac+\big(\dfrac\big)^2\big]\big\}
\]其中 \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho\) 的二維正態分佈，記作 \((x,y)\sim n(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma^2_2;\rho)\)
定義：設二維隨機變數 \((x,y)\) 的分布函式 \(f(x,y)=p\\)（分量 \(x\) 與 \(y\) 的聯合分布函式）
分量 \(x\) 的分布函式：
\[\begin
p\&=p\\\
&=\lim\limits_p\\\
&=\lim\limits_f(x,y)\\
&=f(x,+\infty)\\
&\********q f_x(x)
\end
\]稱 \(f_x(x)\) 為 \((x,y)\) 關於 \(x\) 的邊沿分布函式。
分量 \(y\) 的分布函式：
\[p\=f(+\infty,y)=f_y(y)
\]稱 \(f_y(y)\) 為 \((x,y)\) 的邊沿分布函式。
注：已知聯合分布函式 \(f(x,y)\)，可以計算出邊沿分布函式 \(f_x(x),f_y(y)\)
但由 \(x,y\) 各自的分布函式 \(f_x(x),f_y(y)\)，一般無法確定聯合分布函式 \(f(x,y)\)
定義：二維離散型隨機變數 \((x,y)\)，分量 \(x\) 和分量 \(y\) 都是離散型隨機變數， \(x\) 的分布律稱為 \((x,y)\) 關於 \(x\) 的邊沿分布律；\(y\) 的分布律稱為 \((x,y)\) 關於 \(y\) 的邊沿分布律；
邊沿分布律的計算：
\(p\=\sum\limits_j p_=p_i\)
\((x,y)\)關於\(x\)的邊沿分布律：聯合分布律表中各行概率相加。
\(p\=\sum\limits_ip_=p_j\)
\((x,y)\)關於\(y\)的邊沿分布律：聯合分布律表中各列概率相加.
在已知乙個分量取某一定值的條件下，另乙個分量的分布律稱為條件分布律。
定義設二維離散型隨機變數 \((x,y)\) 的分布律為：
\[p\=p_\qquad i,j=1,2,...
\](1) 若 \(p\>0\)
\[p\=\dfrac}}\qquad j=1,2,...
\]稱為在 \(x=x\) 的條件下，\(y\) 的條件分布律。
(2) 若 \(p\ > 0\)
\[p\=\dfrac}}\qquad i=1,2,...
\]稱為在 \(y=y\) 的條件下，\(x\) 的條件分布律。
二維連續型隨機變數 \((x,y)\) 的概率密度為 \(f(x,y)\) 則
\[f_(x|y)=\dfrac\qquad(f_y(y)\ne 0,x\in (-\infty,+\infty))\\
f_(y|x)=\dfrac\qquad(f_x(x)\ne 0,y\in (-\infty,+\infty))
\]設 \(x,y\) 為兩個隨機變數，若對任意實數 \(x,y\)，有
\[p\=p\\cdot p\
\]則稱 \(x\) 與 \(y\) 相互獨立，簡稱獨立。
設二維離散型隨機變數 \((x,y)\) 的分布律為：
\[p\=p_
\]則 \(x\) 與 \(y\) 相互獨立的充要條件：
\[p_=p_i\cdot p_j
\]設二維連續型隨機變數 \((x,y)\) 的概率密度為\(f(x,y)\)，\(f_x(x),f_y(y)\)分別是 \((x,y)\) 關於 \(x\) 和 \(y\) 的邊沿概率密度。
則 \(x\) 與 \(y\) 相互獨立的充要條件為：
\[f(x,y)=f_x(x)\cdot f_y(y)
\]
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