定義：設a是n階方陣，如果對任何非零向量x,都有x'ax>=0，就稱a為半正定矩陣
性質：1. 半正定矩陣的行列式是非負的。
2. 半正定矩陣+半正定矩陣還是半正定矩陣
3. 非負實數乘半正定矩陣還是半正定矩陣
判定，設a是n階是對稱矩陣，下列條件等價：
1.a是半正定
2.a的所有主子式均非負
3.a的特徵值均非負
4.存在n階實矩陣c，使a=c'c
5.存在秩為r的r×n實矩陣b，使a=b'b
如何說明半正定矩陣特徵值非負？
採用反證法：
假設aa'有負數特徵值a<0，則存在特徵向量x使得aa'x=ax
兩邊同時乘以x'，得：x'aa'x=x'ax=ax'x
x'x是乙個向量x自身的模長的平方，而且x是特徵向量所以非零，所以x'x>0，所以ax'x<0
另一方面x'aa'x=(a'x)'(a'x)>=0
出現了矛盾，等式不成立，所以aa'的特徵值必須非負。
半正定矩陣理解
半正定與正定矩陣同意用半正定矩陣來事例 首先半正定矩陣定義為 其中x 是向量，m 是變換矩陣 我們換乙個思路看這個問題，矩陣變換中，代表對向量 x進行變換，我們假設變換後的向量為y，記做y mx。於是半正定矩陣可以寫成 這個是不是很熟悉呢？他是兩個向量的內積。同時我們也有公式 x y 代表向量 x,...
正定矩陣 正定矩陣與極值的關係 黑塞矩陣 牛頓法
目錄 正定矩陣 正定矩陣與極值的關係 黑塞矩陣 hessian matrix 牛頓法 1 廣義定義 設a是n階方陣，如果對任何非零向量x，都有 正定矩陣有以下性質 1 正定矩陣的行列式恒為正 2 實對稱矩陣a正定當且僅當a與單位矩陣合同 3 若a是正定矩陣，則a的逆矩陣也是正定矩陣 4 兩個正定矩陣...
正定矩陣的意義
此外還有一種矩陣的概念 正矩陣 設矩陣a為m n維，元素為aij。稱a為非負矩陣，若aij 0,對任何i 1,m,j 1,n成立，即a的所有元素是非負的。若上式中嚴格的不等式成立，即a的所有元素為正，則稱a為正矩陣。區別 正定矩陣限定為正方矩陣，而正矩陣可以是非正方的矩陣 正定矩陣a由其二次型 x ...