第二十六課時：對稱矩陣和正定性
本講是關於對稱矩陣的知識， at
=a，理解對稱矩陣的特徵值和特徵向量，
矩陣的特殊性應該表現在特徵值和特徵向量上。
兩個待證明性質
實對稱矩陣的特徵值也是實數
在對稱矩陣的特徵向量中，能挑出一組是垂直正交的。（
如果特徵值互不相同，那麼每個特徵值的特徵向量是在單獨的一條線上，那些線是垂直正交的；如果特徵值重複，那就有一整個平面的特徵向量，在那個平面上，我們可以選擇垂直的向量），我們可以將這組特徵向量轉化為標準正交向量。
單位矩陣
單位矩陣是對稱矩陣，特徵值都為1，每乙個向量都是特徵向量
通常情況下，矩陣a可表示為
a=sλs-1
，當a是對稱矩陣時，
a=qλq-1
=qλqt
，q表示標準正交矩陣，這裡是方陣，因為對稱矩陣的s是垂直正交的，所以可轉化為q，同時標準正交矩陣q有：
q-1qt，所以以上式子是
對稱矩陣的分解形式，分解成特徵向量和特徵值的組合。等式右邊取轉置有得到自己，所以a是對稱矩陣。
數學上叫這個為
譜定理，譜就是指矩陣的特徵值集合，一些純東西組合。
力學上叫這個為
主軸定理，從幾何圖形上看，它意味著如果給定某種材料，在合適的軸上來看，它就變成對角化的，方向就不會重複。
問題1：為什麼實對稱矩陣的特徵值是實數
加上有複數，那這個複數與對應的實特徵值共軛
ax=λx，那麼
同時，向量x乘以其共軛複數向量的轉置不等於0,（
乙個向量為復向量，那麼它乘以其共軛復向量得到實部的平方加上虛部的平方，為其長度平方）。
擁有實數特徵值，相互正交的特徵向量的矩陣是好矩陣，實對稱矩陣a
t=a滿足，如果是復矩陣，那麼不但要滿足轉置相等，還要共軛，即：
進一步探索對稱矩陣，
某單位向量，乘以自己的轉置得到的是什麼矩陣：投影矩陣，記得投影矩陣的重要性質：p
t=p每乙個對稱矩陣都是一些相互垂直的投影矩陣的組合
實對稱矩陣的特徵值的符號與主元的符號一致。正主元的個數等於正特徵值的個數。假設50×50的對稱矩陣，將矩陣平移7倍的單位矩陣，這樣就將特徵值平移了7，然後可以計算矩陣的主元，就會知道原矩陣的特徵值，多少大於7，多少小於7。
特徵值之積等於主元之積，因為特徵值之積等於行列式，主元之積為行列式。
正定矩陣
正定矩陣是對稱矩陣的乙個子類。
如果乙個實對稱矩陣的特徵值都是正數，那麼它是正定矩陣。
正定矩陣的主元也都是正數。
正定矩陣的所有子行列式都是正數
正定矩陣將方陣特徵值，主元，行列式融為一體。
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