定義：乙個n × n的實對稱矩陣
m 是正定的當且僅當對於所有的非零實係數向量
z，都有 z
tmz > 0。
正定矩陣判定：
1.
矩陣m的所有的特徵值
λi都是正的。根據譜定理，m必然與乙個實對角矩陣
d相似（也就是說m = p
− 1d
p，其中p是么正矩陣，或者說m在某
個正交基可以表示為乙個實對角矩陣）。因此，m是正定陣當且僅當相應的d的對角線上元素都是正數。
2.
半雙線性形式
定義了乙個cn
上的內積。實際上，所有cn
上的內積都可看做由某個正定陣通過此種方式得到。
3.
m是n個線性無關的n維向量
的gram矩陣，其中的k為某個正整數。更精確地說，m定義為：
換句話說，m具有a*a的形式，其中a不一定是方陣，但需要是單射的。
4.
m的所有順序主子式，也就是順序主子陣的行列式都是正的（西爾維斯特準則）。明確來說，就是考察下列矩陣的行列式：
對於半正定矩陣來說，相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子：
5.
存在唯一的下三角矩陣
l，其主對角線上的元素全是正的，使得： m = ll*
. 其中l
* 是l
的共軛轉置。 t這一分解被稱為cholesky分解。
正定矩陣性質：
若m為半正定陣，可以寫作
。如果m
是正定陣，可以寫作m > 0。這個記法來自泛函分析，其中的正定陣定義了正運算元。
對於一般的埃爾公尺特矩陣，m
、n，當且僅當
。這樣可以定義乙個在埃爾公尺特矩陣集合上的偏序關係。類似地，可以定義 m > n
。1.
每個正定陣都是可逆的，它的逆也是正定陣。如果 那麼。
2.
如果m是正定陣，r > 0為正實數，那麼 r
m 也是正定陣。
如果 m
、n 是正定陣，那麼和m + n
、乘積 mnm
與 nmn
都是正定的。如果 m
n = n
m，那麼 m
n 仍是正定陣。
3.
如果m = (mij
) > 0 那麼主對角線上的係數mii
為正實數。於是有tr(m) > 0。此外還有
4.
矩陣m是正定陣當且僅當存在唯一的正定陣b > 0 使得 b
2 = m
。根據其唯一性可以記作b = m
1 / 2
，稱b 為m
的平方根。對半正定陣也有類似結論。同時，如果m > n > 0 那麼 m
1 / 2 > n
1 / 2 > 0.
5.
如果m,n > 0 那麼，其中
表示克羅內克乘積。
6.
對矩陣m = (mij
),n = (nij
)，將兩者同一位置上的係數相乘所得的矩陣記為
，即，稱為m
與 n的阿達馬乘積。如果m,n > 0，那麼。如果 m,n
為實係數矩陣，則有如下不等式成立：
7.
設m > 0，n
為埃爾公尺特矩陣。如果
（mn + n
m > 0），那麼
（n > 0）。
8.
如果為實係數矩陣，則
。9.
如果m > 0為實係數矩陣，那麼存在δ > 0 使得
，其中 i
為單位矩陣。
正定矩陣的意義
此外還有一種矩陣的概念 正矩陣 設矩陣a為m n維，元素為aij。稱a為非負矩陣，若aij 0,對任何i 1,m,j 1,n成立，即a的所有元素是非負的。若上式中嚴格的不等式成立，即a的所有元素為正，則稱a為正矩陣。區別 正定矩陣限定為正方矩陣，而正矩陣可以是非正方的矩陣 正定矩陣a由其二次型 x ...
正定矩陣 正定矩陣與極值的關係 黑塞矩陣 牛頓法
目錄 正定矩陣 正定矩陣與極值的關係 黑塞矩陣 hessian matrix 牛頓法 1 廣義定義 設a是n階方陣，如果對任何非零向量x，都有 正定矩陣有以下性質 1 正定矩陣的行列式恒為正 2 實對稱矩陣a正定當且僅當a與單位矩陣合同 3 若a是正定矩陣，則a的逆矩陣也是正定矩陣 4 兩個正定矩陣...
實對稱矩陣為正定矩陣的乙個充分必要條件
本文是為了在學習凸優化的時候遇到的乙個問題展開討論的。目的是能夠明白凸優化的理論基礎，或者盡可能的明白它的理論基礎。1，對稱矩陣的特徵值是實數。證明如下 我是用latex編輯的，這裡不能顯示公式，所以我只能用了。上面的證明可以說明對稱矩陣的特徵值一定是實數！2 n階方陣一定有n個特徵跟 重跟按重數計...