目錄先從數學定義中的三角形式傅利葉級數出發，來討論這個問題：
\[ f(t) = \frac}} + \cos (\omega t) + \sin (\omega t) + \cos (2\omega t) + \sin (2\omega t) + ...
\\ = \frac}} + \sum\limits_^\infty \cos (n\omega t) + \sin (n\omega t)]} \\
\]\[ = \frac\int_}^ + t} \\
= \frac\int_}^ + t} \\
\]其中，f(x)要求是週期函式。
若作如下的轉換：
\[ = \frac\int_}^} \\
= \frac - j}} = \frac\int_}^} \\
= \frac\int_}^} }dt}\\
} = c_n^* = \frac\int_}^} }dt}\\
\]代入上面的三角形式傅利葉級數後，可得出最終的結果為：
\[f(t) = + \sum\limits_^\infty } + }}) = } \sum\limits_^ }}
\]傅利葉級數是根據弦振動理論推導而來的，網路上也有很多人通過麥克勞林級數等其他數學方式來解釋。傅利葉級數具體如何而來的這裡不作深究。
傅利葉級數定義：
\[f(x) = \sum\limits_^ }x}}} \tag
\]f(x)是最小週期為2t的函式。以及級數收斂所需的dirichlet條件：
在實際自然界中，不滿足dirichlet條件的訊號幾乎是不存在的，僅具有數學上的意義，所以不深入**。故可以認為訊號與系統中所有的週期訊號都滿足dirichlet條件，即都可以寫作傅利葉級數的形式。
在討論傅利葉級數之前，再回過頭來看看卷積公式，根據卷積的交換律，我們可以將(1-2)式改寫為：
\[y(t) = \int_^ \tag
\]如果擁有乙個週期訊號，則可以將其展開成如(2-1)所示的傅利葉級數形式，這裡用乙個簡單的頻域抽樣訊號來推導： $x(t) = t}}( = \frac}) $ 。將其代入(2-2)後即可化為如下形式：
\[y(t) = t}}\int_^ \tau }}h(\tau )d\tau } \tag
\]令 \(h(}}) = \int_^ \tau }}h(\tau )d\tau }\)，則有：
\[y(t) = h(}}) \cdot x(t) \tag
\]這裡的h函式可以稱作系統的特徵函式，也可以將其轉換到s域上，以便於對於更多系統特性的具體分析。基於上述的推導，不難發現我們已經向傅利葉級數邁進了一步：提供了求解傅利葉係數 的思路。即通過湊出類似上面h函式形式的方法，利用x(t)的積分求解。在奧本海姆《訊號與系統（第二版）》的p119頁上對於傅利葉級數有更加詳細具體的推導。
對綜合公式兩端乘以 \(e^\) ，得出：
\[x(t)e^
=\sum^_a_e^t}
\]再兩端同時對t進行單週期上的積分：
\[\int_x(t)e^dt
=\sum^_ a_ \int_e^t}dt
\]
這裡應用了積分和求和的互換性質。關於高數知識我後面可能像這樣專門寫一些。\[ \int_e^t}dt
=\left\
t & for & k=n \\
0 & for & k \neq n \end\right.
\]得到最終推導出的分析公式：
\[a_k = \frac\int_e^t}dt
\]這裡對乙個小地方做簡單說明，書中3.35式 \(\int_0^t t}}dt}\) 求得結果為t，原因在於三角函式系的正交性。由於指數形式可以通過尤拉公式轉換為三角函式，故正交性質可直接利用。
\[t}} = (\cos kt + j\sin kt)(\cos nt - j\sin nt) \tag
\]很顯然，(2-5)式中所有三角函式均隸屬於 \(t = \frac}}}\) 的三角函式系，若k不等於n則即它們任意兩者之間的乘積在週期t上的積分為0。
三角函式的正交性可如下簡述：
最終給出週期連續訊號傅利葉級數的綜合公式和分析公式：
\[x(t) = \sum\limits_^ t}}} }\sum\limits_^ }t}}} \\
= \frac\int_t t}}} }\frac\int_t }t}}} \\ \tag
\]
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